Множества. Функция и ее непрерывность
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
?ие. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке она непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).
Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Классификация точек разрыва
Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предельное значение функции в этой точке существует, но либо функция не определена в этой точке, либо ее предельное значение не равно частному значению .
Если функция имеет в точке разрыв такого рода, то его можно устранить, определив значение функции в точке равным ее предельному значению в этой точке. Например, функция не определена в точке , но имеет в этой точке предельное значение, равное 1. Следовательно, точка является точкой устранимого разрыва. Если положить значение функции в нуле равным 1, то получим непрерывную функцию
Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:
.
Например, для функции точка является точкой разрыва первого рода. Действительно, , а .
Разрыв второго рода. Точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет хотя бы одного одностороннего предельного значения, или если, по крайней мере, одно из односторонних предельных значений бесконечно.
Ранее мы показали, что функция не имеет предельного значения в точке . Следовательно, точка является для данной функции точкой разрыва второго рода.
Функция также имеет в точке разрыв второго рода, поскольку .
Определение. Функция называется кусочно непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода, и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в точках и .
Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке
Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , и также непрерывны в точке (частное при условии ).
Доказательство. Поскольку и непрерывны в точке , то и . Используя теорему о пределах функций, получим:
,
,
.
Следовательно, согласно определению 1, функции , , и непрерывны в точке (частное при условии ).
Сложная функция и ее непрерывность
Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.
Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и . Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух функций. Определение. Пусть функция определена на некотором множестве и пусть - множество значений этой функции. Если на указанном множестве определена другая функция , то говорят, что на множестве задана сложная функция переменной
.
Теорема. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , соответствующей точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. В силу непрерывности функции в точке имеем: , то есть при имеем . Поэтому вследствии непрерывности функции в точке получаем , то есть . Следовательно, предел функции в точке равен ее значению в этой точке , что и доказывает непрерывность сложной функции в точке .
Обратная функция и ее непрерывность.
Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство (). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.
Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство (). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.
Определение. Пусть функция задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции .
В этом определении вместо отрезков и можно рассматривать интервалы и или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую , .
Заметим, что если - обратная функция для функции , то функция - обратная функция для функции . Функции и называются взаимно обратными.
Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:
,
.
Пример. Рассмотрим на полупрямой функцию . Областью значений этой функции является полупрямая . каждому поставим в соответствие по формуле единственное значение . Тогда . Следовательно, является обратной для функции .
Пример. Рассмотрим на отрезке функцию . Областью значений этой функции является отрезок . Обозначим через угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен . Тогда функция будет обратной к данной. Действительно