Методика обучения школьников применению теории к решению задач на вычисление и доказательство по теме "Многоугольники"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
Какой же получился четырехугольник? Формулируется теорема 6.1, записывается ее условие.
Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD - четырехугольник, ACUBD=0,AO=OC, BO=OD.
Доказать: ABCD-параллелограмм.
Доказательство.
ABCD - четырехугольник, точка О - точка пересечения его диагоналей.
Рассмотрим ?AOD и ?СОВ, они равны, т.к.
AOD= COB (вертикальные), OD=OB (по условию теоремы), ОА=ОС (по условию теоремы).
=> OBC=ODA, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD.
=> AD||BC (по признаку параллельности прямых).
Аналогично доказывается параллельность прямых АВ и CD => ABCD - параллелограмм (по определению).
Ч. т.д.
Свойства параллелограмма
После введения определения параллелограмма и его признака, изучают свойства.
Свойство диагоналей параллелограмма учащиеся легко обнаружат, выполнив соответствующий рисунок.
Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1): Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Дано: ABCD-параллелограмм,
АС и BD-диагонали.
Доказать: AC?BD и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.
Пусть ABCD - данный параллелограмм.
BD - диагональ, точка О ее середина. Предположим, что существует точка d, такая что АО=ОС1.
Получаем, что ABС1D - параллелограмм (по Т.6.1).
=>BC||AD. Получили противоречие, т.к. через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит ВС1 совпадает с ВС.
Точно так же доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC.
Значит, что C1 совпадает с точкой С => ABCD совпадает с ABC1D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ч. т.д.
Теорема 6.3: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, АС и BD-диагонали, AC?BD=0
Доказать: AB=CD, AD=BC,
Доказать: AB=CD, AD=BC, B=D.
. Рассмотрим ?АОВ и ?DOC, они равны, т.к. ОА=ОС, OB=OD (свойство диагоналей), AOB=COD (вертикальные) => AB=CD.
Равенство AD и ВС доказывается аналогично из треугольников AOD и СОВ.
. ?ABC=?CDA (по III признаку равенства треугольников) AB=CD BC=DA
АС - общая, =>ABC=CDA. Равенство углов BCD и DAB доказывается аналогично.
Ч. т.д.
После этого учащиеся приступают к решению задач.
Задача 1: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делятся этой точкой пополам.
Дано: ABCD-параллелограмм,
АС, BD-диагонали, AC?BD = 0, FE-прямая, OЄFE.
Доказать: FO=OE.
Доказательство.
ABCD:
EF?АВ = Е
EF?DC = F
?ОАЕ = ?OCF (по II признаку)
О А = ОС (т.к. О - середина диагонали АС)
O =О (вертикальные)
EA О = FCO (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ, CD и секущей АС)
=>ОЕ = OF.
Ч. т.д.
Задача 2: Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
Дано: ABCD - четырехугольник, АВ||CD, AB=CD.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство.
Через вершину В проведем прямую b, b||AD, b?DC = Cl.
ABC1D - параллелограмм (т.к. у параллелограмма противолежащие
стороны равны), то C1D = AB.
Т.к. AB = CD=>DC = DC1=>C = C1
=> ABCD совпадает с ABC1D => ABCD - параллелограмм.
Ч. т.д.
После введения перечисленных свойств и признаков параллелограмма учащимся можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.
.Сторона AD параллелограмма ABCD равна 9см, а его диагонали равны 14см и 10см. О - точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр AAOD?
2.В параллелограмме ABCD диагонали равны, О - точка пересечения диагоналей. Докажите, что?AOD-равнобедренный.
3.Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD равны 9см и 6см. Чему равны стороны CD и AD?
.В параллелограмме сумма двух углов равна 120. Могут ли эти углы прилежать к одной стороне параллелограмма.
.В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежат на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.
Конспект урока по теме "Параллелограмм. Свойства параллелограмма".
Цели урока:
образовательные цели направлены на усвоение и закрепление понятия параллелограмма, его свойств, навыка построения параллелограмма и применения его свойств при решении задач;
развивающие цели данного урока направлены на развитие пространственного воображения учащихся, логического мышления; совершенствование графической культуры, формирование навыков осмысленного понимания теорем и быстрого их запоминания, развитие умений применять знания в различных ситуациях; умений самостоятельной работы;
воспитательные цели урока направлены на формирование положительной мотивации учения, воспитание самостоятельности и коллективизма.
Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала на уроке используются следующие методы и приемы обучения:
эвристический (постановка проблемы и организация деятельности по ее решению);
практический (закрепление умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий);
словесный;
наглядный.<