Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
доказательства теоремы, наглядно показывать на чертеже этапы проведения доказательства.
Необходимо, чтобы ученики имели опыт в решении задач; освоили первые шаги (умели сделать чертёж как можно близкий к усвоению, внести в него всё, что дано в условии, ввести необходимые обозначения), записать условие и заключение, используя введённые обозначения; Владели элементарными навыками поиска решения задач.
Для закрепления теоремы можно предложить учащимся следующие устные задачи на вычисление:
а) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Вычислите гипотенузу треугольника.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Определите второй катет.
Вопросами для повторения предусматриваются доказательства следствий из теоремы Пифагора. Эти доказательства просты и в явном виде в учебном пособии отсутствуют. При разборе этих доказательств в классе можно предложить учащимся записать их в тетради.
Ещё одним подходом к изучению теоремы Пифагора, является метод проблемной ситуации на уроках геометрии.
Учебный процесс совершается более активно в тех случаях, когда он связан с решением задач пробных ситуаций, а проблемы имеют мотивационную основу, включая живой интерес к предмету изучения. Мотивы стимулируют, организуют и направляют учебную деятельность. Значительный интерес представляет мотивация для организации процесса обучения и направления мыслительной деятельности учеников.
Проблемы, которые учитель может ставить перед учениками, обычно разрешаются на протяжении одного или нескольких уроков.
Наиболее часто учителя создают проблемные ситуации при помощи эксперимента, то есть исследования частного случая.
Легко организовать проблемную ситуацию, предложив ученикам задачи, для решения которых нужны новые знания. Полезно при этом поддерживать накал активности цепью проблемных вопросов, сменяющих один другой.
Перед изучением теоремы Пифагора рассматривается практическая задача, для решения которой нужно уметь вычислить длину гипотенузы по длинам катетов.
Построение убеждает, что определенная зависимость между катетами и гипотенузой существует, что два катета определяют треугольник, в котором гипотенуза не может быть произвольной. Можно найти приблизительное решение графическим путем. Теперь возникает вопрос: Можно ли выразить формулой зависимость между катетами и гипотенузой?. В поисках ответа рассмотрим удобный частный случай: прямоугольный треугольник с острыми углами по 45.
Получаем для него формулу
c2 = a2 + b2 и задаёмся вопросом: Верна ли эта формула для произвольного прямоугольного треугольника?.
Дальнейшее исследование может быть построено по такой схеме. Поскольку в предлагаемую формулу входят величины a2, b2, c2, то есть площади квадратов со сторонами a, b, c. Построим эти квадраты. Первое построение (пифагоровы штаны) идею доказательства не поясняет.
Тогда учитель предлагает связать величины a, b и c в комбинации прямоугольных треугольников и квадратов таким образом, каким показано на рисунке.
Рассмотрим данный рисунок. Понятно, что с одной стороны площадь большого квадрата равна произведению двух сторон, которые выражены как (a+b). Отсюда следует, что площадь равна (a+b)2.
С другой стороны площадь большого квадрата равна сумме площадей фигур, на которые разбит данный квадрат. В данном случае, это сумма малого квадрата со стороной c и четырёх равных треугольников со сторонами a, b и c.
Отсюда следует, что площадь малого квадрата равна разности площади большого квадрата со стороной (a+b) и учетверённой площади треугольника со сторонами a, b и c, то есть
c2 = (a + b)2 - 2 = a2 + 2ab + b2 -
2c2 = 2a2 + 4ab + 2b2 - 4ab
2c2 = 2a2 + 2b2
c2 = a2 + b2
Можно ли считать формулу доказанной? Если исходить из такой формулы, которая дана на чертеже, то да. Рассмотрим, всегда ли можно для любого прямоугольного треугольника провести такое построение. Строим квадрат со стороной (a + b) и строим прямоугольный треугольник с катетами a и b. Выясним, почему все такие треугольники равны. Остаётся показать, что фигура, образованная гипотенузой и полученных прямоугольных треугольников, является квадратом. Замечаем, что все стороны этой фигуры равны как гипотенузы равных треугольников. Но достаточно ли этого, чтобы фигура ABCD была квадратом? - Нет. Доказываем, что все углы этой фигуры прямые, так как они равны разности развёрнутого угла и острых углов данного прямоугольного треугольника. Следовательно, теорему Пифагора можно считать доказанной.
В качестве домашнего задания учитель может поручить ознакомиться с доказательством, данным в учебнике.
Но цепь вопросов, связанных с зависимостью сторон прямоугольного треугольника, может быть продолжена.
Спросим прежде всего: Справедлива ли теорема Пифагора для непрямоугольных треугольников? - Очевидно, нет, так как две стороны треугольника a и b не определяют однозначно его форму, а третья сторона меняет свою длину в зависимости от значения угла между сторонами a и b так, что a - b < c< a + b (при b < a).
Следующая проблема: Верна ли обратная теорема, обратная теореме Пифагора?
Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, а именно: прямым является угол, лежащий против этой большой стороны. В самом деле, если бы это было не так и треугольник, стороны которого a, b и c связаны зависимостью
c2