Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?вадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть в треугольнике ABC AB2 = AC2 + BC2. Докажем, что угол C - прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1, у которого A1C1 = AC и B1C1 = BC. По теореме Пифагора A1B12=A1C12+B1C12, и значит, A1B12 = AC2 +BC2. Но AC2 + BC2 = AB2 по условию теоремы. Следовательно, A1B12 = AB2, откуда A1B1 = AB. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам, поэтому < C = < C1, то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.
Что и требовалось доказать.
.5 Углы в прямоугольном треугольнике
Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,
а катет AC - прилежащим к этому углу.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Синус, косинус и тангенс угла равного ? обозначается символами sin ?, cos ? и tg ? (читается: синус альфа, косинус альфа и тангенс альфа). На рисунке
, (1)
, (2)
, (3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим
(4),
то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
ТЕОРЕМА. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC и A1B1C1 - два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны ? (рис. 11).
Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что , то есть .
Аналогично , то есть , и , то есть .
Что и требовалось доказать.
Докажем теперь справедливость равенства
(5).
Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора , поэтому .
Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.
Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC - данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).
По определению косинуса угла . Отсюда . Аналогично . Отсюда .
Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .
Что и требовалось доказать.
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов
, 45 И 60
Найдём сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30 и 60. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, у которого < A =30, <B = 60 (рис. 13).
Так как катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы, то . Но . С другой стороны . Итак, .
Из основного тригонометрического тождества получаем
, .
По формуле (4) П. 5.1. находим
.
Найдём теперь sin45, cos45 и tg45. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 14).
В этом треугольнике AC = BC, < A = < B = 45. По теореме Пифагора
AB2 = AC2 + BC2 = 2AC2 = 2BC2, откуда AC = BC =. Следовательно,
.
Составим таблицу значений sin?, cos?, tg? для углов ?, равных 30, 45, 60.
?304560sin?cos?tg?1урок геометрия треугольник теорема
1.6 Подобие прямоугольных треугольников
В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.
Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1 углы соответственно равны: <A=<A1, <B=<B1, <C=<C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).
Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A1B1C1 так что
<A=<A1, <B=<B1, <C=<C1, (1)
(2).
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ?ABC~?A1B1C1.
Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).
У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.
Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугол?/p>