Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Введение
Кривые второго порядка, или коники, традиционно считаются объектом аналитической геометрии. Их свойства изучаются обыкновенно в замкнутом, самодостаточном виде, как вещь в себе - рассказывается, разве что, о некоторых приложениях к задачам механики. А между тем, многие сложные и содержательные утверждения геометрии треугольника тесно связаны с теми или иными кониками, продолжая развивать всевозможные классические направления в планиметрии, взаимодействуя с такими объектами, как окружность Эйлера, прямая Валлиса - Симсона и т.д. и т.п. Кроме того, коники могут применяться для решения геометрических задач, на первый взгляд никак с ними не связанных.
Цель выпускной работы: рассмотреть кривые второго порядка, связанные с треугольником.
Исходя из цели, были поставлены задачи:
.изучить учебно-методическую литературу по теме выпускной работы;
.рассмотреть свойства коник, описанных около треугольника и вписанных в него;
.рассмотреть два отображения, связанных с треугольником: изогональное и изотомическое сопряжения;
.показать взаимосвязь между замечательными точками и линиями треугольника и кривыми второго порядка, связанными с треугольником;
.подобрать задачи, решаемые с помощью кривых второго порядка, связанных с треугольником.
Объектом исследования является геометрия треугольника.
Предмет исследования - кривые второго порядка, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.
Работа состоит из двух глав. Глава 1 работы посвящена общеизвестным фактам из геометрии треугольника. В первом и втором параграфах рассказано о свойствах двух отображений плоскости, связанных с треугольником, - изогонального и изотомического сопряжений. Во третьем - даны определения замечательных точек и линий треугольника, показана взаимосвязь между ними. Для изучения свойств коник, связанных с треугольником, удобно использовать трилинейные координаты, основные сведения о которых изложены в последнем параграфе главы 1. Изложение во второй главе начинается с определения и общих свойств коник. Во втором и третьем параграфе охарактеризованы основные свойства описанных около треугольника и вписанных в него кривых второго порядка; приведены примеры коник, полученных как изогональный или изотомический образ замечательных прямых. В четвертом параграфе приведены примеры решения задач с использованием рассмотренного в выпускной работе материала.
В заключении даны некоторые выводы по работе.
1 Элементы геометрии треугольника
Для исследования свойств кривых второго порядка, связанных с треугольником, необходимо знание таких геометрических преобразований, как изоганальное и изотомическое сопряжения.
1.1Изогональное сопряжение
Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку Р внутри его. Отразим прямые АР, BP и CP относительно биссектрис углов А, В и С соответственно (рис. 1.1.1). Докажем, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Воспользуемся вспомогательным построением. Пусть P1, Р2 и P3 - точки, симметричные точке Р относительно прямых АС, АВ и ВС соответственно (рис. 1.1.2), Q - центр описанной окружности треугольника Р1Р2Р3. Покажем, что через точку Q проходят прямые, симметричные прямым АР, BP, CP относительно биссектрис углов А, В, С соответственно.
Будем считать, что треугольник ABC остроугольный. Обозначим BAC = ?, РАС = ?. Тогда P1AС = РАС = ?, P2AB = PAB = ? - ?. А поскольку AP1 = АР = АР2, треугольник Р1АР2 является равнобедренным, и его угол при вершине А равен 2?. Проведём биссектрису угла P1АР2. Она является серединным перпендикуляром к отрезку Р1Р2, а значит, проходит через точку Q. Но QAB = P2AQ - P2AB = ? - (? - ?) = ?, т.е. QAB = PAC.
Аналогично доказываются равенства QBA = PBC и QCA = PCB.
Следовательно, прямые AQ, BQ и CQ симметричны прямым АР, BP и CP относительно биссектрис углов А, В и С соответственно.
Точку Q называют изогонально сопряжённой точке Р относительно треугольника ABC. Ясно, что если точка Q изогонально сопряжена точке Р, то точка Р изогонально сопряжена точке Q. Действительно, если прямая AQ симметрична прямой АР относительно биссектрисы угла А треугольника ABC, то и прямая АР симметрична прямой AQ.
Аналогичным образом можно определить изогонально сопряжённую точку не только для внутренних точек треугольника, но и для остальных точек плоскости, отличных от А, В и С. При этом может оказаться, что прямые, симметричные прямым АР, BP, CP относительно биссектрис треугольника ABC, параллельны. В таком случае мы считаем, что этой точке изогонально сопряжена бесконечно удалённая точка.
Отображение, которое переводит каждую точку плоскости (кроме А, В и С) в точку, которая ей изогонально сопряжена, называется изогональным сопряжением относи?/p>