Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ельно треугольника ABC.
Рассмотрим несколько простейших свойств изогонального сопряжения.
1.Изогональное сопряжение не является взаимно однозначным отображением.
Рис. 1.3
Рассмотрим, например, точку на прямой ВС, отличную от В и С. Прямая, симметричная прямой ВС относительно биссектрисы угла В, есть, очевидно, прямая АВ, а прямая, симметричная ВС относительно биссектрисы угла С, есть прямая АС. Поэтому исходная точка перейдёт в точку А. Значит, вся прямая ВС (за исключением точек В и С, для которых отображение не определено) перейдёт в точку А. Поэтому изогональное сопряжение не взаимно однозначно.
Впрочем, если рассматривать плоскость без прямых, содержащих стороны треугольника, то изогональное сопряжение является взаимно однозначным отображением.
Приведённое утверждение требует некоторых пояснений для точек, изогонально сопряжённых точкам описанной окружности треугольника ABC (отличным от вершин А, В, С). Дело в том что для каждой такой точки Р прямые, симметричные прямым АР, BP и CP относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, параллельны.
Докажем, например, что прямые a и b параллельны. Сумма внутренних односторонних углов А + ? и B + ц, образованных при пересечении прямых a и b секущей АВ, равна А + ? + B + ц = A + B + C = 180. Следовательно, а || b.
Это означает, что каждой точке описанной окружности, кроме вершин треугольника, соответствует некоторая несобственная точка, лежащая на несобственной прямой плоскости. Верно и обратное: если данной несобственной точке, определяемой пучком параллельных прямых, поставить в соответствие три параллельные прямые пучка, проходящие через вершины треугольника, то прямые, симметричные им относительно биссектрис соответствующих углов треугольника, определяют точку, изогонально сопряжённую этой несобственной точке. Тем самым доказана теорема 1: образом несобственной прямой при изогональном сопряжении является описанная окружность и наоборот.
2.Изогональное сопряжение имеет, ровно четыре неподвижные точки (т.е. существуют ровно четыре точки, которые изогонально сопряжены самим себе): центр вписанной и центры вневписанных окружностей треугольника ABC.
Рис. 1.4
Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка самосопряжена. Центр вневписанной окружности - это точка пересечения двух биссектрис внешних углов треугольника. Поскольку биссектриса внешнего угла перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла, то преобразование симметрии относительно биссектрисы этого внутреннего угла оставляет прямую, содержащую биссектрису внешнего угла, на месте. Значит, при изогональном сопряжении точка пересечения двух биссектрис внешних углов также остаётся на месте. Других неподвижных точек изогональное сопряжение не имеет.
Приведем еще один способ построения изогонально сопряженной точки. Для этого рассмотрим ряд понятий связанных с треугольником.
Определение 1. Педальным (подрным) треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершинами которого являются проекции точки P на стороны треугольника ABC.
Описанная окружность педального треугольника называется педальной (подерной) окружностью точки P относительно треугольника ABC.
Рис. 1.6
Теорема 1.1.1. Педальный треугольник вырождается (проекции лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.
Определение 2. Чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершины которого - точки пересечения прямых AP и BC, BP и AC, CP и AB. Описанная окружность чевианного треугольника называется чевианной окружностью точки P относительно треугольника ABC.
Рис. 1.1.7
Дадим еще определение окружностно-чевианного треугольника.
Определение 3. Окружностно-чевианным треугольником точки P относительно треугольника ABC называется треугольник, вершин которого - это точки повторного пересечения прямых AP, BP, CP с описанной окружностью треугольника ABC.
Пусть точка P лежит внутри треугольника ABC (рис. 1.1.9), точка Pa симметрична ей относительно стороны BC, точки Pb и Pc определены аналогично. Пусть P? - это центр описанной окружности треугольника PaPbPc. Точка C равноудалена от Pa и Pb, следовательно, прямая CP? является серединным перпендикуляром к отрезку PaPb.
А значит, PaCP? =1/2PaCPb =C. Но тогда BCP? =PaCP? ?BCPa = C ? BCP = ACP. Аналогично показывается, что ABP? = CBP и BAP? = CAP. А это и означает, что точка P? изогонально сопряжена P относительно ABC.
Рис. 1.1.9
Если точка P лежит вне треугольника, то рассуждения абсолютно аналогичны, но, когда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, треугольник PaPbPc вырожден. Тогда центр описанной окружности треугольника P<