Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?тся или вовне или вовнутрь).
VI.При изотомическом сопряжении прямая Жергонна переходит в некоторую кривую второго порядка. Образом прямой Жергонна будет описанная гипербола, так как прямая Жергонна и описанная окружность имеют две общие точки. Эта кривая называется гиперболой Фейербаха (рис. 2.2.6). Отметим два основных свойства гиперболы Фейербаха
Рис. 2.2.6
1.Центром гиперболы Фейербаха является точка Фейербаха F (отсюда и пошло название этой гиперболы).
Доказательство. Гиперболу Фейербаха можно получить также как изогональный образ прямой OI, поэтому на ней лежат точки Н и I. Педальные окружности точек I и H имеют единственную общую точку - точку Фейербаха. Следовательно, она и является центром гиперболы.
.Гипербола Фейербаха является равносторонней (теорема 2.2.1)
VII.Прямая Эйлера проходит через центр описанной окружности O и центроид G. При изогональном сопряжении O в ортоцентр H, а G перейдет в точку Лемуана. Образом прямой Эйлера при изогональном сопряжении, является описанная гипербола проходящая через точку Лемуана и ортоцентр. Эта кривая называется гиперболой Енжабека (рис. 2.2.7). На ней лежит центр описанной окружности.
.Гипербола Енжабека является равносторонней (теорема 2.2.1)
Рис. 2.2.7
2.3 Коники, вписанные в треугольник
Коника, касающаяся прямых, содержащих стороны треугольника, называется вписанной.
Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.
Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр.
Директриса вписанной параболы всегда проходит через ортоцентр Н треугольника, а ее фокус лежит на описанной около треугольника окружности.
Отсюда вытекает доказательство двух красивых фактов, связанных с полным четырехсторонником:
Пусть имеются четыре прямые общего положения, образующие четыре треугольника. Их ортоцентры лежат на одной прямой (т.н. прямая Штейнера-Обера полного четырехсторонника), а описанные около этих треугольников окружности пересекаются в одной точке (так называемой точке Микеля полного четырехсторонника) (рис. 2.3.1).
В самом деле, обязательно должна найтись парабола, касающаяся всех четырех прямых (ибо пятой прямой, которой касается парабола, будет бесконечно удаленная прямая).
Таким образом, эта парабола будет вписана во все четыре треугольника, а значит, их ортоцентры лежат на директрисе, а описанные окружности проходят через фокус.
Теорема 2.3.1. Фокусы эллипса, вписанного в треугольник, изогонально сопряжены относительно этого треугольника.
Доказательство. Рассмотрим угол А треугольника ABC. Пусть эллипс, вписанный в треугольник, касается сторон АВ и АС в точках К и L соответственно, а F1 и F2 - фокусы эллипса. Поскольку касательная к эллипсу образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фокусами, точка F1. симметричная F1 относительно КА, лежит на прямой F2K. Точно так же, точка F2, симметричная F2 относительно LA, лежит на прямой F1L. При этом F1F2 = F1K + F2K = F1L + F2L = F1F2. Значит, треугольники F2AF1 и F2AF1 равны по трём сторонам.
Следовательно, KAF1 = F1AF1 = F2AF2 = LAF2. Это означает, что прямые AF1 и AF2 симметричны относительно биссектрисы угла А. Аналогичные рассуждения для углов В и С треугольника показывают, что F1 и F2 изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
I.Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда вписанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс. Образ вписанной окружности правильного треугольника называют вписанным эллипсом Штейнера.
1.Центром эллипса Штейнера является центр тяжести треугольника ABC.
Доказательство. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда вписанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс, причем центром этого эллипса будет центр тяжести треугольника ABC, так как при аффинном преобразовании сохраняется простое отношение трех точек.
Существует единственная коника, касающаяся данных трех прямых, с центром в данной точке. А значит, это и будет эллипс Штейнера.
.Эллипс Штейнера касается сторон треугольника ABC в их серединах, так как в правильном треугольнике точки касания вписанной окружности со сторонами - это их середины
.Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник.
Это следует из того, что среди всех треугольников, описанных около данной окружности, правильный и