Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ыми прямоугольника, а B? - основание высоты треугольника, опущенной из точки B (рис. 2.2.2). Так как четырехугольники BB?CV и AUB?H вписаны в окружности с диаметрами BC и AH, ?AB?U = ?AHU, ?VB?C = ?VBC. Но ?AHU = ?VBC как углы с перпендикулярными сторонами, значит, точки U, B?, V лежат на одной прямой, и по обратной теореме Паскаля шестиугольник AXBHYC вписан в конику, т.е. равносторонняя гипербола ABCXY проходит через точку H.
Теорема 2.2.2 Центр описанной гиперболы расположен на окружности Эйлера, асимптоты же совпадают с прямыми Симсона диаметрально противоположных точек, образованных пересечением изогонального образа гиперболы с описанной окружностью.
Доказательство. Пусть D - четвертая (отличная от A, B и C) точка пересечения гиперболы и описанной окружности треугольника ABC, а A?, B?, C?, D? - ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC соответственно (рис. 2.2.3)
Так как CD?=2R|cos ?BCA|=2R|cos ?BDA|=DC?, CDC?D? - параллелограмм, т.е. C?D? ||CD и C?D? =CD.
Следовательно, четырехугольники ABCD и A?B?C?D? центрально симметричны. Их центр симметрии является центром гиперболы, на которой в силу основного свойства равносторонней гиперболы лежат все 8 точек. При этом он совпадает с серединой отрезка DD? и, значит, лежит на окружности Эйлера треугольника ABC (а также треугольников BCD, CDA и DAB).
Теорема 2.2.3 Кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через центр O описанной окружности, является равнобочной гиперболой, проходящей через вершины треугольника.
Доказательство. I способ. Согласно теореме 2.1.2 рассматриваемая кривая является коникой, проходящей через вершины треугольника. Нужно лишь доказать, что эта коника является равнобочной гиперболой.
Первое решение. При изогональном сопряжении точка O переходит в ортоцентр. Если коника проходит через вершины треугольника и его ортоцентр, то она - гипербола с перпендикулярными асимптотами (теорема 2.2.1).
II способ. При изогональном сопряжении точки описанной окружности переходят в бесконечно удалённые точки (теорема). Легко также видеть, что если точки P1 и P2 лежат на описанной окружности треугольника ABC и прямые, симметричные прямым APi, BPi и CPi относительно биссектрис углов A, B и C, параллельны прямой li, то угол между прямыми l1 и l2 равен углу ?P1AP2. Поэтому диаметрально противоположным точкам P1 и P2 соответствуют перпендикулярные прямые l1 и l2.
Теорема 2.2.3 Если, описанная коника получена соответствующим сопряжением из некоторой прямой, содержащей его неподвижную точку, то эта прямая будет касаться коники в неподвижной точке.
Примем эту теорему без доказательства.
Кривых, описанных около треугольника, может существовать бесконечное количество, поэтому есть смысл рассмотреть кривые, которые являются образами замечательных линий и как следствие проходят через некоторые замечательные точки.
I.Бесконечно удаленная прямая при изотомическом сопряжении преобразуется в эллипс, описанный около исходного треугольника
Данный эллипс называется описанным эллипсом Штейнера (рис. 2.2.4) и обладает рядом замечательных свойств:
1.Центр эллипса совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника.
Доказательство. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее правильный треугольник в треугольник ABC. Тогда описанная окружность этого треугольника перейдет в эллипс, причем центром этого эллипса будет центр тяжести треугольника ABC, так как при аффинном преобразовании сохраняется простое отношение трех точек.
2.Эллипсу Штейнера принадлежат точки, симметричные центроиду относительно середин соответствующих сторон.
3.Среди всех описанных эллипсов эллипс Штейнера имеет, наибольшую площадь.
Доказательство. Это следует из того, что среди всех треугольников, вписанных в окружность, правильный имеет максимальную площадь, а аффинные преобразования сохраняют отношения площадей.
II.Ось Брокара при изогональном сопряжении переходит в некоторую кривую второго порядка. Так как ось Брокара имеет две точки пересечения с описанной окружностью, то образом оси Брокара будет описанная гипербола. Эта кривая называется гиперболой Киперта (рис. 2.2.5).
III.Так как ось Брокара проходит через точку Лемуана и центр описанной окружности, а образом точки Лемуана при изогональном сопряжении является центроид (см. 1.3), а образом центра описанной окружности - ортоцентр (см. 1.3), то это - описанная около треугольника гипербола, проходящая через центроид G и ортоцентр Н.
IV.Гипербола Киперта является равносторонней (теорема 2.2.1)
V.Гипербола Киперта может также быть получена как множество перспекторов (см. 2.3) исходного треугольника и треугольников, составленных из вершин равнобедренных треугольников, построенных на сторонах данного, с одним и тем же углом при основании (причем вершины одновременно откладыва?/p>