Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
у плоскость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если плоскость пересекает только одну плоскость по незамкнутой кривой, то эта кривая - парабола; если секущая плоскость пересекает обе плоскости конуса, то в сечении образуется гипербола.
Перечислим некоторые общие свойства конических сечений.
Эллипс и гипербола имеют центр симметрии (который в случае параболы удаляется в бесконечность - точку пересечения прямых, параллельных оси параболы). Любая прямая, соединяющая середины двух параллельных хорд коники, проходит через ее центр (в случае параболы имеем прямую, параллельную оси параболы), т.е. является диаметром коники.
Фокусами эллипса называются точки, сумма расстояний от которых до любой точки коники, равна большей оси эллипса. У эллипса есть две оси симметрии. Это прямая, соединяющая фокусы, и серединный перпендикуляр к отрезку с концами в фокусах. Эти две прямые называются большой и малой осями эллипса, а длины их частей, лежащих внутри эллипса, - длинами большой и малой осей. Расстояние между фокусами называют фокусным расстоянием.
Фокусами гиперболы называются точки, модуль разности расстояний от которых до любой точки коники, постоянен. Гипербола состоит из двух дуг, которые сколь угодно близко приближаются к двум прямым, называемым асимптотами гиперболы. Гипербола с перпендикулярными асимптотами называется равносторонней. Прямая, проходящая через фокусы гиперболы, является ее осью симметрии и называется действительной осью. Перпендикулярная ей прямая, проходящая через середину отрезка между фокусами, также является осью симметрии и называется мнимой осью гиперболы.
Парабола имеет единственную ось симметрии, проходящую через её фокус.
Все коники проективно эквивалентны, т.е. переводятся друг в друга подходящим проективным преобразованием. При этом гипербола пересекает бесконечно удаленную прямую в двух точках, парабола ее касается, а эллипс не имеет с ней общих точек.
Любые пять точек общего положения (т.е. среди которых отсутствуют тройки коллинеарных точек) лежат на некоторой конике, однозначно определенной этими точками. Доказательство.
Двойственное к этому утверждение состоит в том, что пять прямых общего положения (т.е. среди которых нет троек конкурентных прямых) однозначно задают конику, их касающуюся.
Теорема 2.1.2. Кривая, изогонально сопряжённая прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.
Доказательство. Если прямая не проходит через вершины треугольника, то в трилинейных координатах она задаётся уравнением px + qy + rz = 0, где числа p, q, r отличны от нуля. Её образ при изогональном сопряжении задаётся уравнением , т.е. pyz + qxz + rxy = 0. Это уравнение задаёт некоторую конику, проходящую через вершины треугольника.
Прямая, проходящая через вершину A, задаётся уравнением qy + rz = 0, её образ при изогональном сопряжении задаётся уравнением x (ry + qz) = 0.
Это уравнение задаёт две прямые: x = 0 (прямая BC) и ry + qz = 0 (эта прямая симметрична исходной прямой относительно биссектрисы угла A).
.2 Коники, описанные около треугольника
Из школьного курса геометрии нам известно, что около любого треугольника можно описать окружность. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через его вершины. При проективном преобразовании образом окружности является кривая второго порядка.
Кривая второго порядка, содержащая вершины треугольника ABC, называется описанной около этого треугольника.
Каждая кривая второго порядка, описанная около треугольника, может быть получена как изогональный (или изотомический) образ некоторой прямой.
Лемма 2.2.1: Пусть Р и P - изотомически сопряженные точки относительно треугольника АВС. Тогда прямая РP параллельна прямой ВС если и только если центр коники, описанной около АВС и проходящей через Р и P лежит на медиане .
Доказательство.
Конику через пять точек провести можно (теорема….). Предположим, что прямая РP параллельна прямой ВС. Тогда, поскольку Р и P - изотомически сопряжены, середина отрезка ВС, точка A0 будет также и серединой отрезка ApAm с концами в основаниях соответствующих чевиан (т.к. основания чевиан симметричны относительно A0). Поэтому медиана AA0 будет пересекать отрезок РP в его середине P0. Итак, A0 и - середины параллельных хорд коники. Значит, медиана , содержащая точку P0, также будет проходить и через центр коники (в случае параболы - параллельно ее оси).
Теорема. 2.2.1. Гипербола, описанная около треугольника, является равносторонней (т.е. имеет перпендикулярные асимптоты) тогда и только тогда, когда на гиперболе лежит ортоцентр треугольника Н.
Доказательство. Пусть X, Y - две точки бесконечно удаленной прямой, направления на которые перпендикулярны. Проведем через точки A и B прямые, параллельные направлению на X, а через C и H - прямые, параллельные направлению на Y. Пусть UV - диагональ образованного этими пря?/p>