Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
/p>
5.Точки Брокара
Первой точкой Брокара называется точка Р, лежащая внутри треугольника АВС, и удовлетворяющая условию .
Второй точкой Брокара называется точка Q, лежащая внутри треугольника АВС, и удовлетворяющая условию .
6.Точка Жергонна - точка пересечения отрезков касательных, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности и противоположных сторон.
7.Точка Нагеля - точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания соответственных вневписанных окружностей (рис. 1.3.4).
8.Точка Фейербаха - точка касания окружности девяти точек и вписанной окружности треугольника.
9.Точка Аполлония (A) - точка, педальный треугольник (образованный основаниями перпендикуляров, опущенной из данной точки на стороны треугольника или их продолжения) которой является правильным.
10.Точка Лемуана - точка пересечения симедиан.
Между указанными замечательными точками существуют пары изогонально (изотомически) сопряженных точек.
Теорема 1.3.1. Первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.
Доказательство. Пусть Р и Q - первая и вторая точки Брокара треугольника АВС соответственно,
Докажем, что . Так же, как в предыдущем пункте, построим точку (Рис. 1.3.7). Как мы установили, точка Р лежит на отрезке . Поскольку то прямые АС и параллельны. Пусть точки K и L - основания перпендикуляров, опущенных на прямую АС из точек В и соответственно (Рис. 1.3.8). Пусть также точка К лежит на отрезке АС, а не на его продолжении (остальные случаи разбираются аналогично). Тогда из равенства получаем
Поскольку, по определению, угол меньше любого из углов треугольника АВС, а значит, меньше 90, то по величине однозначно определяется угол . Для угла, связанного со второй точкой Брокара, мы получим точно такое же выражение, поэтому
Из равенства этих углов следует, что первая и вторая точки Брокара изогонально сопряжены.
Теорема 1.3.2. Ортоцентр треугольника изогонально сопряжен центру описанной окружности.
Доказательство. Это следует из теоремы 1.1.2. Действительно, педальные окружности точек H и O совпадают с окружностью девяти точек Эйлера.
Теорема 1.3.3. Центроид и точка Лемуана изогонально сопряжены.
Доказательство. Прямые, симметричные медианам относительно биссектрис соответствующих углов, называются симедианами. Точка пересечения симедиан, изогонально сопряжена точке пересечения медиан.
Теорема 1.3.4. Точки Жергонна и Нагеля сопряжены изотомически.
Эта теорема доказывается аналогично.
Рассмотрим некоторые замечательные линии треугольника.
Замечательные линии - это неформальное название для отрезков (или прямых), окружностей и более сложных кривых, встречающихся в геометрии треугольника и обладающих теми или иными интересными свойствами. В частности так называют линии, проходящие через несколько замечательных точек треугольника. К замечательным линиям треугольника относят, например, его высоты, медианы, биссектрисы, прямую Эйлера, прямую Симсона и т.д.
1.Прямая Симсона.
Теорема Симсона. Для того чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы ортогональные проекции одной из них на прямые, определяемые тремя остальными точками, были коллинеарны.
Прямая, на которой лежат эти проекции, называется прямой Симсона.
Отметим интересное свойство прямой Симсона, связанное с изогональным сопряжением.
Если точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC, то изогонально сопряженной точке P будет точка на бесконечно удаленной прямой, которая задает направление, перпендикулярное прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC (прямой, проходящей через проекции точки P на стороны треугольника ABC).
Рассмотрим случай, изображенный на рисунке (рис. 1.1.5), остальные случаи разбираются аналогично. Пусть точка P лежит на описанной окружности, а Pb и Pc - проекции точки P на стороны AC и AB соответственно. Точку пересечения прямой Симсона точки P с прямой a, симметричной AP относительно биссектрисы A, обозначим через X. Четырехугольник APPcPb вписанный, а значит, APbPc =180? ?APPc =180? ?(90? ?PAPc)= 90? + PAPc = 90? + XAPb. Но, поскольку внешний угол равен сумме двух оставшихся внутренних углов треугольника, AXPb =90?. Аналогично доказывается, что прямые, симметричные PB и PC относительно биссектрис соответствующих углов, перпендикулярны PbPc.
2.Прямая Эйлера