Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
меет минимальную площадь, а аффинные преобразования сохраняют отношения площадей.
.Перспектром вписанного эллипса Штейнера является центроид треугольника.
.Множеством центров коник, проходящих через вершины треугольника и его центр тяжести, является вписанный эллипс Штейнера.
Вписанный эллипс Брокара - это эллипс с фокусами в точках Брокара.
1.Фокусами эллипса Брокара являются точки Брокара.
.Его перспектором служит точка Лемуана.
.Эллипс Брокара касается сторон треугольника в основаниях симедиан.
Доказательство. Пусть треугольники BCA1 и C2AB подобны треугольнику ABC и расположены так, как показано на рис. 2.3.3. Обозначим их описанные окружности через и . Поскольку точки P и Q лежат на и соответственно и углы, опирающиеся на дуги CP и AQ, равны, то отношение длин отрезков CP и AQ равно отношению радиусов окружностей и . C другой стороны, отношение радиусов этих окружностей равно коэффициенту подобия треугольников BCA1 и C2AB, а значит, равно
т.е. , а поскольку ?PCA = ?QAC (углы Брокара), треугольники CLbP и ALbQ подобны. Следовательно, ?PLbC = ?Br2LbA. Значит, эллипс с фокусами в точках Брокара и суммой расстояний до фокусов PLb +QLb касается прямой AC в точке Lb. Но такой эллипс единственный, и это эллипс Брокара.
То, что эллипс Брокара касается AB и BC в точках Lc и La, доказывается аналогично.
Парабола Киперта - вписанная в треугольник парабола, директриса которой совпадает с прямой Эйлера.
1.Перспектор парабола Киперта совпадает с точкой Штейнера S.
2.Фокус параболы Киперта расположен на описанной окружности.
2.4 Применение к решению задач
Знания о кониках связанных с треугольником, могут применяться в геометрических задачах, на первый взгляд ни как с ними не связанных. В качестве примера рассмотрим две задачи:
Для доказательства этих утверждений, воспользуемся леммой 2.2.1.
.Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через точки Жергонна и Нагеля, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Фейербаха лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.
Точки J и N изотомически сопряжены. Описанная коника, проходящая через эти точки, является гиперболой Фейербаха, центр которой и есть точка Фейербаха.
Пользуясь леммой, получаем, что прямая проходящая через точки J и N, параллельна стороне AC треугольника.
.Дан разносторонний треугольник. Докажите, что прямая, проходящая через его центроид и точку Лемуана, параллельна одной из сторон треугольника тогда и только тогда, когда точка Штейнера лежит на медиане, проходящей через вершину, противоположную этой стороне.
Решение:
Пусть прямая GK параллельна стороне ВС. Рассмотрим гиперболу Киперта. Прямая GK касается гиперболы в центроиде G. Применим лемму 2.2.1 для случая, когда P совпадает с P и совпадает с G). Тогда получим, что GK параллельна ВС тогда и только тогда, когда центр гиперболы Киперта CK лежит на медиане AA0 (конечно, содержащей и точку G). Однако точки S, G, CK коллинеарны. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Заключение
В выпускной работе рассмотрены кривые второго порядка, связанные с треугольником: описанный и вписанный эллипс Штейнера, гипербола Киперта, гипербола Фейербаха, гипербола Енжабека, парабола Кипперта, вписанный эллипс Брокара.
В ходе изучения учебно-методической литературы по теме исследования выяснилось, что вопрос изучения коник, связанных с треугольником, мало разработан и не раскрыт. Нет единообразного подхода к изучению этого вопроса: каждая из них изучается в связи с некоторой конкретной прикладной задачей. В работе была предпринята попытка систематизировать собранный материал по некоторым кривым второго порядка, связанным с треугольником, для чего рассмотрели понятия изогонального и изотомического сопряжений, трилинейных координат, некоторые замечательные точки и линии треугольника.
Материал изложенный в данной работе может быть полезен для студентов и учеников школ, заинтересованных в более углубленном изучении геометрии.
Список использованных источников
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1. Планиметрия. - М.: Учпедгиз, 1948. - 607 с.
. Акопян А.В., Заславский А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка. - М.: МЦНМО, 2007. - 136 с.
. Берже М. Геометрия, Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.
. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. - М.: МЦНМО, 2000. - (Библиотека Математическое просвещение. Вып. 4).
. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
. Емельянов Л.А., Емельянова Т.Л. Семейство Фейербаха. // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 6. 2002. С. 78-92.
. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. - Одесса, 1902.