Кривые второго порядка, связанные с треугольником
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
b> может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера проходит через: центроид треугольника, ортоцентр треугольника, точку пересечения серединных перпендикуляров, центр окружности девяти точек.
3.Ось Брокара - прямая соединяющая точку Лемуана и центр описанной окружности.
Для дальнейшего изложения важен вопрос о взаимном расположении каждой из замечательных линий с описанной окружностью.
В зависимости от того, сколько общих точек имеет замечательная прямая с описанной около данного треугольника окружностью (2, 1 или 0), при изогональном сопряжении возникают гипербола, парабола или эллипс соответственно.
При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно удалённую прямую. Поэтому количество точек пересечения образа прямой l при изогональном сопряжении равно количеству точек пересечения прямой l с описанной окружностью. Коника является эллипсом, если она не пересекает бесконечно удалённую прямую; параболой - если касается; гиперболой - если пересекает в двух точках.
1.4Изогональное сопряжение в трилинейных координатах
Рассмотрим треугольник ABC и точку Р внутри его. Пусть х, у, z - расстояния от точки Р до прямых ВС, СА и АВ соответственно (рис. 1.4.1). Тогда набор чисел (x, y, z) называется трилинейными координатами точки Р относительно треугольника ABC.
Установим связь между трилинейными и барицентрическими координатами. Напомним, что барицентрические координаты точки Р (относительно треугольника ABC) - это такая тройка чисел (?, ?, z), что точка Р является центром масс системы точек {(А, ?), (В, ?), (С, z)} (точке А приписана масса х, точке В-масса у, а точке С - масса z). Как видно из определения, числа х, у, z определены с точностью до пропорциональности (т.е. точки с координатами (х, у, z) и (?х, ?у, ?z) при ??0 совпадают).
Например, точка с трилинейными координатами (r, r, r) - это точка пересечения биссектрис (r - радиус вписанной окружности треугольника), а точка с барицентрическими координатами (r, r, r) = (1,1,1) - это точка пересечения медиан.
Разница, казалось бы, невелика. Но оказывается, что барицентрические координаты хорошо приспособлены к аффинным свойствам, а трилинейные - к метрическим. (Свойство называют аффинным, если оно сохраняется при ортогональной проекции одной плоскости на другую. Например, свойство быть точкой пересечения медиан треугольника - аффинное. Если же свойство существенно зависит от расстояний и углов, то такое свойство называют метрическим. Например, свойство быть точкой пересечения биссектрис треугольника - метрическое.)
Пусть Р - произвольная точка плоскости. Тогда её первая трилинейная координата х - это ориентированное расстояние от точки Р до прямой ВС (т.е. расстояние, взятое со знаком +, если точки Р и А расположены по одну сторону от прямой ВС, и со знаком -, если по разные стороны). Соответственно, у и z - это ориентированные расстояния до прямых СА и АВ (рис. 1.4.2).
Итак, каждой точке плоскости мы сопоставили три числа. Но для того, чтобы задать точку на плоскости, вполне достаточно двух чисел (например, в декартовой системе координат). Конечно, барицентрические координаты точки - это тоже три числа, но зато они определены с точностью до пропорциональности. Соотношения (1) приводят нас к выводу, что и трилинейные координаты также можно определить с точностью до пропорциональности.
Пусть точки р и q изогонально сопряжены относительно треугольника ABC и отличны от его вершин, (p1, p2, p3) - трилинейные координаты точки Р. Точки прямой АР (в том числе и несобственная точка) имеют координаты вида (х, р2, р3), где х - любое число (включая ?). Прямая AQ симметрична АР относительно биссектрисы угла А, поэтому её точки имеют координаты вида (х, p3, p2) (рис. 1.4.3): х - переменная, а последние две координаты поменялись местами. Поскольку трилинейные координаты определены с точностью до постоянного множителя, можно также утверждать, что точки прямой AQ имеют координаты.
Проводя аналогичные рассуждения для вершин В и С, мы получим, что при изогональном сопряжении точка (р1, p2, p3) переходит в точку
2. Коники, связанные с треугольником
.1 Общие свойства конических сечений
Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Теорема 2.1.1. Сечением любого прямого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь гиперболой (рис. 2.1.1), параболой (рис. 2.1.2) или эллипсом (рис. 2.1.3). При этом, если плоскость пересекает только одн