Итерационные алгебраические методы реконструкции изображения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ервого типа (вертикальных) и n3 прямоугольников второго типа (горизонтальных). Общее количество элизов в данном случае n2+2n3.
Рисунок 5.1. Квадрат с11
Рисунок 5.1. Дискретизация области
Тут aij - центры горизонтальных прямоугольников; bij - центры вертикальных прямоугольников; сij - центры квадратов.
Используем вид решения, построенный на основе операторов интерлинации:
(5.3)
Учтем, что
. (5.4)
Подставив (5.3) в (5.4) получим
(5.5)
Имеем систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов Ai, Bнj, Cij.
Количество неизвестных определяется дискретизацией области и равно n3+2n2.
-значения в центрах элизов, Ai - значения в центрах горизонтальных прямоугольников, Bнj - значения в центрах вертикальных прямоугольников.
Получаем систему:
. (5.7)
Эта система неопределенна (недоопределена, если , переопределена, если ).
Её решение осуществляется таким вариантом итерационно-алгебраического метода:
(5.8)
где - i-я строка матрицы А, записанная в виде вектора (столбца), а щ - релаксационный множитель, находящийся в диапазоне .
Также в данной работе применяли частично ограниченный вариант данного метода, при котором учитывается информация о неотрицательности значений искомого вектора. Для этого выбирают
(5.9)
Оценку погрешности данного метода будем производить по такому критерию:
(5.10)
6 ОСОБЕННОСТИ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
Реализацию данной задачи производили в пакете Mathcad. Благодаря этому удалось реализовать метод в матричном виде. При реализации область сканирования размещаем в круге с радиусом , что определяет использование формулы (3.5) в алгоритме.
В качестве примера решения поставленной задачи итерационно-алгебраическим методом рассмотрим такие тестовые задачи.
.1 Восстановление функции с носителем в круге
Пусть задано уравнение окружности радиуса r=0.5, помещенной в квадрат [-1, 1] [-1, 1]:
В пакете MathCad данная задача будет иметь вид
Далее данную тестовую функцию присвоим функции :
.
Рисунок 6.1. График и линии уровня искомой функции f(x, y)
= 10 - дискретизация области: разбиение области [-1, 1] [-1, 1] сеткой на n2 элизов.= 32 - число прямых вдоль каждого направления.= 32 - число направлений сканирования.
? = - шаг сетки.
Функция, задающая направления имеет вид:
, .
Разбиения вдоль направлений:
, .
Центры элизов:
, .
Матрица, представляющая значения функции в центрах элизов:
.
Внутри каждого элиза значение искомой функции постоянно.
Сформируем правую часть системы уравнений - вектор B:
Зададим функцию-индикатор, принимающую значение 1, если точка (x, y) принадлежит элизу , и равна 0 в противном случае:
Сформируем проекционную матрицу А размером MN:
Полученная система линейных уравнений AX=B является неопределенной (в данном случае переопределенной), так как число переменных не равно числу уравнений системы. Решение данной системы - вектор размером , представляющий значения восстановленной функции в центрах элизов.
Для решения этой системы используем итерационно-алгебраический метод.
- релаксационный множитель, находящийся в диапазоне 0 << 2.
NM = N M - количество строк матрицы А.
h = cols(A) - количество столбцов матрицы А.
- i-я строка матрицы А, записанная в виде столбца.h = 0 - нулевой вектор-столбец размера h.= 10 - количество итераций.
Получение решения задачи в виде вектора итерационно-алгебраическим методом ART:
= FF(J,щ).
Процедура преобразования вектора в матрицу:
Погрешность данного метода ищем в виде:
.2 Восстановление функции с носителем в эллипсе
Пусть задано уравнение эллипса полуосями a=0.5, b=0.3, помещенного в квадрат [-1, 1] [-1, 1]:
Рисунок 6.2. График и линии уровня искомой функции f(x, y)
Данный алгоритм одинаково хорошо подходит практически для любых носителей, поэтому далее решение данной задачи производится аналогично алгоритму, описанному в пункте 6.1.
7 РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
.1 Результаты решения задачи восстановления функции с носителем в круге
Рассмотрим результаты решения задачи восстановления функции с носите лем в круге:
при
Таблица 7.1 - Результаты исследований при щ= 0.05, J=10
Дискретизация области, NЧисло прямых вдоль направления, NЧисло направлений сканирования, MЧисло неизвестныхЧисло уравненийПогрешность71616492560.08216323225610240.07720404040016000.05925305062515000.045
Рисунок 7.1. Истинный и восстановленный графики функции
Рисунок 7.2. Истинные и восстановленные линии уровня функции
.2 Результаты решения задачи восстановления функции с носителем в эллипсе.
Рассмотрим результаты решения задачи восстановления функции с носителем в эллипсе:
при , .
Таблица 7.2 - Результаты исследований при щ= 0.05, J=10
Дискретизация области, NЧисло п?/p>