Итерационные алгебраические методы реконструкции изображения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
/b>реконструкции изображения можно описать следующим образом.
Пусть требуется восстановить двумерную функцию f(x)=f(x,y), заданную в области D R2. Предположим, что область восстановления D заключена в квадрат К, который разбит на п равных маленьких квадратиков, называемых элизами. Пронумеруем все элизы от 1 до п. При этом примем основное ограничение, которое заключается в том, что восстанавливаемая функция f(x) принимает постоянное значение fj внутри j-го элиза, т. е. функцию f (x) заменяем дискретизированным выражением
(4.2)
где
если (х) j-му элизу;
в противном случае. (4.3)
Предположим, что задано множество линейных непрерывных функционалов, которые представляют собой прямое преобразование Радона вдоль набора некоторых прямых :
(4.4)
Тогда - проекция функции f(х) вдоль луча Li.
Применяя операторы к равенству (4.2) и учитывая их непрерывность и линейность, получаем систему линейных алгебраических уравнений
где , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
Если семейство базисных функций {bj} задается формулой (4.3), то
длина пересечения i-го луча с j-м элизом.
Матрицу коэффициентов обозначим А=(), вектор изображений - f=(f1, f2, ..., fn), вектор проекций - R=(R1, R1, ..., Rт). Тогда решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида
Af = R. (4.5)
При этом вектор R задан заведомо с некоторой погрешностью.
Стоит отметить, что вид системы (4.5) зависит от конкретного выбора системы базисных функций bi и набора функционалов Ri. Существуют другие способы выбора сетки разбиения области D (а значит, и базисных функций bi). Функционалы выбираются не только в виде (4.4), но и с учетом реальной длины лучей и с использованием кусочно-постоянных функций. Кроме того, постановка задачи не зависит от геометрии лучей и легко формулируется для трехмерного случая.
4.2Использование операторов интерлинации
В данном пункте рассматривается новый метод представления приближенного решения задачи плоской компьютерной томографии (РКТ) в виде кусочно-постоянных функций. Метод имеет более высокую точность, чем классический метод решения плоской задачи РКТ с использованием кусочно-постоянных функций.
Рассмотрим далее случай кусочно-постоянных функций двух переменных. Пусть
;
разбиения Е2 на четырехугольники. Введем следующие обозначения.
Оператор О1 является оператором аппроксимации f(x,y) кусочно-постоянными функциями по x. Если y=const, то находится из условия наилучшей аппроксимации f(x,y) в полосе , yE. Аналогично, оператор О2 является оператором аппроксимации f(x,y) кусочно-постоянными функциями по y.
Если x=const, тогда hj(x) находится из условия наилучшей аппроксимации f(x,y) в полосе , хE.
Введем следующие операторы:
Значения найдем из условия наилучшей аппроксимации f числом f(оij,h ij) в
Лемма 3.1 Пусть функция, r=1,2 или и является функцией с ограниченной вариацией. Тогда операторы Onm обладают свойствами
,
где
Доказательство. Свойства (3.25) и (3,26) вытекают из того, что
Поэтому
Свойство (3,27) вытекает из того, что
Свойства (3,29) выполняются для всех дифференцируемых функций и для непрерывных функций с ограниченной вариацией.
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. Для и для непрерывных функций с ограниченной вариацией мы получаем следующую оценку погрешности.
Следствие 2. Заменяя функции кусочно-постоянными функциями одной переменной с той же самой оценкой погрешности
получим оператор
Получим значения для gi (x)
Получим значения для Gi (y)
со следующими свойствами:
Следствие 3. Оператор
имеет следующие свойства:
Если , r=1,2 или и является функцией с ограниченной вариацией, тогда
Доказательство. Для погрешности можно написать равенство
Отсюда вытекает неравенство
Применяя оценки 3 и 4 к правой части полученного выражения, придем к оценке (3,42).
Следствие 3 доказано.
Если m=n, тогда оператор имеет погрешность (он использует постоянных ); приближение оператором имеет погрешность . То есть оператор (он использует постоянных ) имеет ту же погрешность, как и оператор :
В следующих пунктах отмечаются преимущества указанного метода.
Количество неизвестных
Использование интерлинации функций при построении приближенного решения, а именно представление приближенного решения в виде:
привело к появлению 2n3+n2 постоянных , которые являются неизвестными. Следовательно оператор использует O(n3) постоянных-неизвестных. Оператор имеет погрешность .
Использование оператора - классическое представление п?/p>