Итерационные алгебраические методы реконструкции изображения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
тично ограниченный или полностью ограниченный). В полностью ограниченном варианте предполагается, что известно и максимальное значение восстанавливаемой функции.
Область применения:
в медицине;
в программном обеспечении компьютерных томографов.
Требуемые ресурсы: наличие ЭВМ, обладающих большой памятью и высокой скоростью.
3 ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу восстановления двумерного распределения коэффициента ослабления излучения f(х,у) (рис. 3.1), Процесс измерений выглядит следующим образом.
Рисунок 3.1. Круговая геометрия измерений с параллельными проекциями
Источник излучения, формирующий "карандашный" пучок, проходит дискретно вдоль объекта. Синхронно с источником с другой стороны объекта движется детектор излучения. Набор отсчётов, полученный таким образом, определяет одномерную функцию, называемую проекцией. Затем система "Источник-Детектор" поворачивается относительно объекта на некоторый угол , и снимается новый набор отсчётов, определяющий следующую проекцию.
Такие измерения повторяются, пока система "Источник-Детектор" не повернётся на угол . Строго говоря, достаточно поворота на угол , т. к. затем результаты измерений станут повторяться. По полученному набору одномерных проекций необходимо восстановить двумерное распределение f(х,у). Поскольку система "Источник-Детектор" вращается вокруг объекта, такую схему измерений называют круговой геометрией измерений, а т. к. для получения следующего отсчёта в проекции пучок смещается параллельно предыдущему положению, проекции называют параллельными проекциями.
Рисунок 3.2. Неподвижная (х, у) и вращающаяся (х, у) системы координат
Для математического описания связи проекций с искомым распределением f(х,у) наряду с неподвижной системой j координат (x, у) введём вращающуюся систему координат (х, у) (рис. 1.3):
(3.1)
Обозначим через (x,y) распределение линейного коэффициента ослабления в системе координат (x,y), повёрнутой относительно неподвижной системы координат (х,у) на угол :
(3.2)
В частности (x,y) = f(x,y)
Для интенсивности I(x,y) излучения, прошедшего через объект вдоль
оси y, в соответствии с (1.2) получим
(3.3)
При этом было учтено, что за пределами объекта f(x,y)?0 проекцией R(x,y) называют такую величину
(3.4)
Таким образом, получим следующее выражение для проекции:
(3.5)
Соотношение (3.5) называется преобразованием Радона двумерной функции f(x,y). Отметим, что если функция находится по , то это прямое преобразование Радона, а если по , то обратное.
Если отлична от нуля внутри круга радиуса r, то (3.5) можно записать в виде
(3.6)
В дальнейшем нам понадобится другое представление для преобразования Радона, использующее свойства д-функции Дирака:
(3.7)
Происхождение представления (3.8) становится понятным, если вспомнить, что д-функция будет равна нулю везде, кроме прямой y= x cos() + y sin().
Получено выражение для проекции с помощью определенного интеграла:
, , (3.8)
где
,
gk - заданное число.
Требуется: восстановить функцию f(x,y).
Отметим основные этапы решения задачи восстановления функции по её проекциям.
) преобразование криволинейного интеграла к определенному, т.е. представим (3.8) в виде
(3.9)
) приближенное решение, полученное на основе интерлинации, имеет вид:
(3.10)
где
Получили вид приближенного решения, в котором общее количество неизвестных .
4)подставив в (3.9) получим систему линейных алгебраических уравнений имеем:
(3.11)
) решение системы отыскиваем с помощью итерационного алгебраического метода ART:
(3.12)
4 ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМОГО МЕТОДА
4.1Алгебраический метод
Пусть функция f(x) = f(x, y) описывает некоторое распределение плотностей в каком-либо выделенном сечении объекта. Основная задача вычислительной томографии состоит в восстановлении функции f(x) по набору экспериментально полученных проекций:
(4.1)
которые представляют собой линейные интегралы от искомого распределения вдоль прямых L:. Здесь - угол сканирования, - дельта-функция.
На практике, как правило, проекции заданы не для всех значений и , а только для конечного их числа. Существует целый ряд практических задач, для которых число дискретизаций по 0 весьма ограничено (от 3 до 5). Задачи такого типа относятся к задачам малоракурсной томографии и являются одними из наиболее трудно решаемых. Задача может быть поставлена следующим образом: по заданному конечному набору проекций функции двух переменных получить наилучшую оценку этой функции.
Сформулируем общую постановку задачи восстановления решения задачи (4.1) с помощью алгебраических методов, построим итерационный алгоритм восстановления таких задач. Применение алгебраических методов принципиально отличается от метода интегральных преобразований, поскольку предполагает дискретизацию изображения до начала алгоритма восстановления. Построение дискретной модели задачи <