Итерационные алгебраические методы реконструкции изображения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?иближенного решения - приводит к появлению n4 постоянных , которые являются неизвестными. Следовательно оператор использует O(n4) постоянных-неизвестных. Оператор имеет погрешность .
Обобщая сказанное, делаем вывод, что использование оператора требует нахождение O(n3) неизвестных, в то время как использование оператора требует нахождения O(n4) неизвестных для приближения решения с той же самой погрешностью .
Поэтому использование оператора дает значительные преимущества по количеству арифметических операций, так как для достижения той же точности необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений меньшей размерности.
Для иллюстрации указанного факта приводим следующую таблицу:
Таблица 1
n - неизвестных
- неизвестныхПогрешность36381414425652756256468129677352401810884096915396561
Сравнения показывают, что для достижения одной и той же точности, при использовании оператора , можно брать меньшее количество уравнений. Например, для n=9 количество неизвестных в классическом методе в 4 раза больше.
В силу того, что система должна быть переопределенной, а для n=9 неизвестных 1539 (для случая с интерлинацией) и 6561(для классического метода), и следует брать число уравнений больше, чем число неизвестных, то ясно, что в методе с интерлинацией этих уравнений будет меньше.
Вычислительный эксперимент, проведенный с помощью разработанных алгоритмов и программ, подтвердил указанные утверждения.
Дискретизация области
Применение схем решения задачи плоской компьютерной томографии, основанных на использовании и обуславливает дискретизацию области.
Для - нерегулярная сетка: разбивка на квадраты со стороной и прямоугольники со сторонами , и , , вытянутые вдоль оси Ox и Oy соответственно. Узлы сетки располагаются в центрах квадратов и прямоугольников.
Для - регулярная сетка: разбивка на квадраты со стороной . Узлы сетки располагаются в центрах квадратов.
Положительный эффект применения оператора достигается за счет другого расположения узлов, что вызывает связь между следующим соотношением:
,
, которые совпадают с узлами, расположенными в центрах соответствующего квадрата, вертикального и горизонтального прямоугольников.
Для этих точек , т.к. в этих центрах , то имеем точные решения.
Значит, приближенное решение, построенное с помощью , представляет собой интерполяционную формулу. С ее помощью подсчитывается значение функции в любых точках области D, отличных от указанных, в которых наблюдается точное совпадение
.
Относительно точного совпадения в указанных центрах . Значит,
4.2Итерационный метод ART
реконструкция алгебраический функция восстановление
Среди специфически томографических методов одним из наиболее популярных является метод ART (algebraic reconstruction technique), для которого разработано много модификаций. В первоначальном варианте метода ART вычисления проводят по формуле
(4.6)
где aiТ = [(ai)1, (ai)2, ..., (ai)n] - i-я строка матрицы В, записанная в виде вектора (столбца) (ai)j?aij, а - релаксационный множитель, находящийся в диапазоне 0 < < 2.
Одна итерация метода ART состоит из двух вложенных циклов, при этом для каждого проекционного значения yi корректируются все те компоненты вектора х, которые участвовали в образовании именно этого значения у;. Поскольку матрица А является сильно разреженной, просмотр только линии (полосы) проецирования значительно сокращает количество выполняемых операций.
Преимущество этого метода а том, что в этом методе для каждого проекционного значения gk, корректируются все те компоненты вектора F, которые участвовали в образовании именно этого значения gk. Поскольку матрица А является сильно разряженной, просмотр только линии (полосы) проецирования значительно сокращает количество вычислительных операций.
В методе ART различают частично ограниченный и полностью ограниченный варианты. В частично ограниченном варианте учитывают информацию о неотрицательности значений искомого вектора. Для этого выбирают
(4.7)
В полностью ограниченном варианте дополнительно учитывают и информацию о максимальном значении Q, которое не может превысить ни одна из компонент искомого вектора:
(4.8)
Геометрически схема метода ART соответствует последовательному ортогональному проецированию на гиперплоскости, определяемые каждым из уравнений решаемой СЛАУ.
4.3 Критерии, оценивающие точность восстановления
В качестве меры близости восстановленного изображения к истинному используются такие критерии:
) среднеквадратическая погрешность:
(4.9)
) абсолютная погрешность:
(4.10)
) максимальная по модулю погрешность:
(4.11)
5 ОБЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Будем рассматривать проекционные данные по разным направлениям.
Дана система интегральных уравнений:
, . (5.1)
Задание правой части gk осуществляется с использованием тестовых задач, где функция f(x,y) задана и gk подсчитана по следующей формуле:
. (5.2)
Применение интерлинации функций обусловило дискретизацию области с нерегулярной сеткой.
Проводим дискретизацию области, разделив её на n2 квадратов, n3 прямоугольников ?/p>