Использование прикладной среды MS Excel для решения задач из курса "Математика"

Дипломная работа - Компьютеры, программирование

Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование



?ростью изменяется спрос при цене = 2?

)зависимость полных издержек производства от объема производства х выражается формулой:

Изобразите графически изменение издержек с изменением объема производства в диапазоне [1; 5] с шагом = 0,2. Постройте график скорости изменения издержек в диапазоне [1,2; 4,8] с шагом = 0,2.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке задана функция , и отрезок разбит на элементарных отрезков точками:

На каждом отрезке [ ] разбиения выбрана некоторая точка ,- и положено, что, где. Тогда сумма вида:

(5)

называется интегральной суммой для функции на . Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения . Обозначим через max, максимальную из длин отрезков , где = 1, 2,тАж, .

Тогда определенным интегралом от функции на называется предел интегральной суммы при стремлении max ,- к нулю, если он существует, конечен и не зависит от способа выбора точек , ... точек.Определенный интеграл обозначается

,

а функция называется интегрируемой на отрезке , то есть:

.(6)

При этом число называется нижним пределом определенного интеграла, число - его верхним пределом, функция - подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции на отрезке . Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то dx численно равен площади 5 под кривой на . Действительно, отдельное слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника со сторонами и (согласно определению значение определенного интеграла не зависит от способа выбора точек ), где . Поэтому вся интегральная сумма равна площади = + + ... + под ломаной, образованной на каждом из отрезков [] прямыми, параллельными оси абiисс. При стремлении max , к нулю ломаная неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой , = .

Рис. 29. Диаграмма, поясняющая геометрический смысл определенного интеграла

В экономических приложениях, например, определенный интеграл может выражать объем произведенной продукции при известной функции производительности труда :

.

Обычно для нахождения определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:

,(7)

где и первообразные для в точках и . Первообразной функцией для функции на промежутке называется функция , если в каждой точке x этого промежутка = .

Однако применение формулы (7) на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается особенно предпочтительным при использовании компьютеров для нахождения интегралов.

Существует значительное количество численных методов вычисления интегралов. Они основаны на разных способах нахождения площади под кривой ():

как суммы элементарных прямоугольников - метод прямоугольников:

(8)

-как суммы элементарных трапеций - метод трапеций;

.(9)

Существуют также метод Симпсона и ряд других.

Формула метода прямоугольников (8) получается, если отрезок интегрирования разбить на равных частей длиной:

На каждом из отрезков разбиения участок кривой заменяется отрезком прямой, параллельным оси абiисс. Тогда:

где,,тАж, - площади прямоугольников на каждом из отрезков разбиения. Отдельное слагаемое , равно площади прямоугольника со сторонами и , где . Отсюда получается формула (9). Метод прямоугольников является простейшим, но и наименее точным.

Более точно определенный интеграл может быть вычислен по формуле трапеций (9). В этом случае, в отличие от метода прямоугольников, на каждом из отрезков разбиения [ ] участок кривой заменяется хордами, стягивающими концевые точки. Тогда, отдельное слагаемое интегральной суммы 5, равно площади трапеции с основаниями и и высотой , где . То есть:

.

Складывая площади элементарных трапеций и приводя подобные члены, получаем формулу (8).

Погрешность () вычисления определенного интеграла по формуле трапеций :

может быть оценена из выражения:

,

где М2 - максимальное значение модуля второй производной подынтегральной функции - на .

Рассмотрим вычисления интегралов по методу прямоугольников и методу трапеций.

Задача 7. Методом прямоугольников и методом трапеций найти с шагом = 0,1. Заметим, что этот интеграл легко может быть вычислен аналитически:

.

Решение 1. Для нахождения определенного интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции в рабочую таблицу Excel в диапазоне . [0; 3] с заданным шагом = 0,1.

1.Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка - Лист).

2.Составляем таблицу данных ( и ). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями . Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 - слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (0). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента - левая граница диапазон?/p>