Использование прикладной среды MS Excel для решения задач из курса "Математика"
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ах или римские цифры .
Продифференцировать функцию (найти ее производную) можно, используя таблицу производных простейших функций и правила дифференцирования:
Таблица 16 Производные простейших функций
01
Правила дифференцирования:
-производная суммы функций:
-производная суммы функций равна сумме производных
Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной:
производная произведения:
;
-производная дроби (частного, отношения):
-производная сложной функции:
Однако в ряде случаев простейшими правилами дифференцирования воспользоваться достаточно сложно. Например, когда функция задана таблично или получена в результате наблюдений. В этих случаях прибегают к численным методам дифференцирования.
Численное дифференцирование очень чувствительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных, отбрасываемых членов ряда и т. д., и поэтому должно применяться с осторожностью.
Существуют различные формулы численного дифференцирования. Из них простейшими являются явные трехточечные формулы, в частности:
(4)
Здесь и - три последовательные точки, - достаточно малый шаг дискретизации. Погрешность вычисления производной по формуле (4) может быть оценена из выражения:
где < < . Когда экспериментальные данные зашумлены более сильно (имеют большие погрешности) используют методы дифференцирования по большему числу точек. Примером может являться так называемая формула численного дифференцирования после сглаживания:
Рассмотрим примеры численного нахождения производной.
Задача 5. Функция затрат, определенная экспериментально, имеет вид:
ОбъемЗатраты1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,32,693147 2,941937 3,188457 3,432909 3,675469 3,916291 4,155511 4,393252 4,629619 4,864711 5,098612 5,331402 5,563151 5,793922
Найти предельные издержки производства при объеме выпуска .
Решение. Для решения задачи необходимо найти производную затрат по объему производства в точке. Для этого:
1)вводим в рабочий лист Excel в диапазон А1:ВЗ значения точек с объемом выпуска 1,9-2,1:
АВ1,9 2 2,14,864711 5,098612 5,331402
2)в ячейку В4 вводим формулу дифференцирования (4): =(ВЗ - В1)/0,2. После нажатия клавиши Enter получаем значение производной в точке : = 2 (2333455). Отметим, что истинное значение производной в данном случае равно .
Задача 6. Найти производную функции на промежутке [0; 6,2] при шаге дискретизации = 0,2. Построить график функции и ее производной.
Решение:
1)для решения задачи, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово аргумент. Затем в ячейку А2 - первое значение аргумента - 0 (левую границу диапазона). Далее в ячейку A3 введем второе значение: левая граница плюс шаг дискретизации - 0,2. Теперь необходимо скопировать формулу в ячейки А4:АЗЗ (выделяем блок ячеек А2:АЗ и за правый нижний угол протягиваем до ячейки АЗЗ, там появляется значение 6,2). Значения аргумента введены;
2)далее требуется вводить значения функции (в примере синуса). В ячейку В1 заносим слово синус и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции . В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 в ячейки ВЗ:ВЗЗ. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку В2, и за правый нижний угол протягиванием копируем в ячейки ВЗ:ВЗЗ. Значения синуса получены;
3)теперь по введенным в рабочую таблицу данным необходимо найти значения производной. Для этого в ячейку Q вводим слово производная. В ячейку СЗ вводим формулу дифференцирования (4.1): =(В4 - В2)/(2*0,2). Протягиванием (за правый нижний угол) копируем ее из ячейки СЗ в ячейки С4:С32 (в ячейках С2 и СЗЗ значения производной не определены, так как не заданы значения синуса в ячейках В1 и В34). Получены значения производной;
4)далее по полученным данным строим диаграмму. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы - График, вид - левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных - В1:СЗЗ (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:АЗЗ. Нажав кнопку Далее, вводим названия осей и : Аргумент и Значения, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Появляется диаграмма, изображенная на рисунке 28.
Рис. 28. Диаграмма синуса и его производной из примера 4
Как нетрудно заметить, график производной на рис. 3.8 совпадает с графиком косинуса, который и является точным значением производной от функции синуса.
Примеры для самостоятельной работы.
1)зависимость спроса на товар от цены выражается формулой:
Построить график функции этой зависимости в диапазоне [1; 3] с шагом = 0,1. С какой ск?/p>