Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?тервале нам нужно найти область определения функции. Потом мы находим производную. Далее находим стационарные и критические точки функции, лежащие внутри данного интервала, исследуем функцию на монотонность и экстремумы. И потом вычисляем значения функции в отобранных точках, далее выбираем среди этих значений наименьшее и наибольшее.этап. Объяснение нового материала (13 мин).
Учитель: Изучение нового материала мы начнем сегодня с рассказа Л.Н. Толстого Много ли человеку земли надо. В нем говорится о крестьянине Пахоме, мечтавшем о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник. Так как в задаче не сказано, какой именно четырёхугольник обежал Пахом, то мы с вами можем предположить, что это мог быть параллелограмм, ромб, какая-то трапеция, прямоугольник, а может вообще произвольный четырёхугольник. Я же перед вами ставлю задачу: выяснить, какой четырёхугольник должен был обежать Пахом, чтобы площадь была наибольшей? Давайте предположим, что искомый четырёхугольник - трапеция (высвечивается первый слайд):
Рис. 15
Учитель: Кто-нибудь помнит формулу для вычисления периметра и площади трапеции?
Ученики: Площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту. А периметр есть сумма длин всех сторон трапеции.
Учитель просит вычислить периметр и площадь данной трапеции (Р=40км, S=км2?64 км2).
Учитель: Для ответа на наш вопрос мало одной фигуры, давайте рассмотрим ещё четырёхугольник - параллелограмм (высвечивается второй слайд):
Рис. 16
Учитель: Чему равен периметр? Площадь?
Ученики: P=40км, а S= км2?72 км2
Учитель: Судя по этим примерам, можем ли мы предположить, что параллелограмм искомая фигура?
Ученики: Нет.
Учитель: Предлагаю рассмотреть ещё один пример - прямоугольную трапецию (третий слайд):
Рис. 17
Учитель: Найдите периметр и площадь.
Ученики: P=40 км, а S=78 км2
Учитель: Теперь мы можем сделать вывод, какую же фигуру должен был обежать Пахом?
Ученики: Нет, не можем. Ведь может получиться, что это допустим ромб!
Учитель: Ребята, а сможем ли мы с вами перебрать сейчас все четырёхугольники с периметром 40 км и найти тот, площадь которого наибольшего?
Ученики: Нет, это же может продолжать бесконечно!
Учитель: Совершенно верно. Поэтому я предлагаю рассмотреть следующую задачу:
Периметр прямоугольника равняется 40 км. Какую длину должны имеет стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?
Рис. 18
Учащиеся вместе с учителем решают данную задачу. Учитель записывает на доске, ученики в тетради.
Учитель: Как найти периметр и площадь прямоугольника?
Ученики: P=2(a+b), S=a*b
Учитель: Так как Р=40 км, то мы можем записать так 2(a+b)=40, a+b=20. Из этого равенства выразите длину через ширину.
Ученики: b=20-a
Учитель: Давайте обозначим через x - длину, а через (х-20) - ширину. Как вы думаете, какие значения может принимать х?
Ученики: от 0 до 20
Учитель: Да, запишем неравенство 0<x<20. Теперь наша задача звучит так, при каких х площадь прямоугольника будет наибольше? Для этого нам нужно составить функцию: S(x)=x(20-x)= 20x - x2. В начале урока мы не зря повторяли алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Что нам делать дальше?
Ученики: Нужно найти производную, приравнять к нулю, найти критические и стационарные точки, исследовать на экстремум: ' (x) = 20-2x;
-2х=0; х=10.
Учитель: Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая получается фигура? (Квадрат). Теперь давайте исследовать на экстремум.
Ученики:
Т.о. х=10 - точка максимума, а отсюда следует, что
Ответ: a=10 км, b=10км
Учитель: А теперь вернёмся к задаче о земле, с которой мы начали урок. Какую же фигуру Пахом должен был обежать, чтобы площадь фигуры была наибольшей? (Квадрат).
П.Л. Чебышев говорил, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи - стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название - задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum - наилучший). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь математики. Ее название мы попытаемся выяснить в процессе решения задач.
Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме (схема высвечивается на экране):
составление математической модели;
работа с моделью;
ответ на вопрос задач