Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?азываемой вариационным исчислением. Основы этого раздела математики были заложены Л.Эйлером.
Но ученики не должны думать, что задачи на оптимизацию решаются только с использованием производной. Для нарушения стереотипа мышления неплохо было бы показать им один-два примера, где наибольшее или наименьшее значения функции можно найти и без помощи производной, с помощью элементарных алгебраических или геометрических рассуждений. Вот одна из таких задач.
Задача: Из всех треугольников с данным основанием a и данным углом ? при вершине найти треугольник с наибольшей биссектрисой, проведённой к основанию.
Решение. Первый способ(аналитический)
Оптимизируемая величина - длина биссектрисы AD (рис.1); обозначим её буквой y
Объявим независимой переменной угол C, обозначим его буквой x; реальные границы изменения x таковы: 0 < x < ?
По теореме синусов (для треугольника ABC) имеем:
Значит, AB=
Теперь применим теорему синусов к треугольнику:
Отсюда находим, что
Для функции надо найти на интервале (0; ?-). Это сопряжено с определенными техническими трудностями (например, связанными с дифференцированием функции, с решением соответствующего тригонометрического уравнения).
Второй способ (геометрический)
Пусть ABC - один из треугольников с заданным основанием и заданным углом при вершине (рис.2). Опишем около него окружность, тогда вершины всех треугольников с основанием a и углом при вершине лежат на дуге BAC; один из таких треугольников - равнобедренный, обозначим его BA1C. Проведём биссектрису AD треугольника ABC и биссектрису A1D1 треугольника BA1C. Докажем, что A1D1 > AD.
Продолжим обе биссектрисы до пересечения с описанной окружностью - точкой пересечения будет точка M середина дуги DC (равные вписанные углы BAM и MAC опираются на равные дуги BM и MC). A1M - диаметр окружности, поэтому A1M > AM. В то же время MD > MD1, тогда A1M - MD1 > AM - MD, т.е. A1D1 > AD.
Итак, наибольшую биссектрису имеет равнобедренный треугольник.
Рис. 14
4. Конспект урока по теме Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин
Данный урок является первым из трех предусмотренных программой уроков по данной теме. Учащиеся к этому времени уже знакомы с математическим моделированием решения известных им типов задач. Прежде чем приступить к изучению данной темы, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют знаниями и навыками применения алгоритма на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке или интервале. Поэтому на уроке основной упор делается на составление модели задачи и не столь подробно рассматривается вспомогательный материал. В ходе урока предполагается, что каждый учащийся достигнет определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно. Ожидаемый результат по окончании изучения материала:
-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач;
-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения типовых задач в нестандартной ситуации;
-й уровень: каждый ученик должен знать схему математического моделирования и уметь применять ее для решения нестандартных задач.
На первом уроке в основном рассматриваются более привычные для учащихся задачи с математическим содержанием. В дальнейшем предполагается решение задач с практическим содержанием (одна из них разбирается уже на первом уроке). Для этого могут использоваться как задачи из пособия, так и дополнительные источники.
Цели урока:
Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.
Формирование у учащихся навыков использования схемы для решения задач оптимизации.
Развитие навыков самостоятельной работы.
Развитие логического мышления, монологической речи.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду.
Воспитание внимания, аккуратности.
Структура урока:
Организационный этап; сообщение темы урока(1 мин)
Актуализация опорных знаний (3 мин)
Объяснение нового материала (12 мин)
Усвоение новых знаний, решение задач (22 мин)
Подведение итогов урока (2 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Оборудование: учебник Алгебра и начала анализа 10-11 (автор: Мордкович А.Г.), задачник Алгебра и начала анализа 10-11 (авторы: Мордкович А.Г., Денищева Л.О. и др.), памятки с методическими рекомендациями по решению задач, компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урокаэтап. Организационный момент (1 мин.).
Здравствуйте, садитесь. Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. этап. Актуализация опорных знаний и умений (3 мин.).
Учитель: Для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала, нам необходимо повторить пройденный материал. Давайте вспомним алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на интервале.
Ученики: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке нам нужно найти область определения функции. Потом мы находим производную. Далее находим стационарные и критические точки функции, лежащие внутри данного отрезка. И вычисляем значения функции в точках, отобранных на предыдущем шаге, и в концах отрезка, потом выбираем среди этих значений наименьшее и наибольшее.
Ученики: Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на и?/p>