Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?а значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.
Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было, затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f(x) производная функции равна нулю. С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.
О месте темы в курсе математики средней школы
Такие свойства функции, как монотонность (убывание и возрастание), а позднее экстремум функции (максимум и минимум), наибольшее и наименьшее значение функции, неоднократно рассматриваются учащимися в курсе математики средней школы, например, при изучении линейной функции, квадратной и кубической парабол, при исследовании квадратного трёхчлена, при рассмотрении свойств тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Внимание к изучению именно этих свойств вполне естественно, так как они характеризуют важнейшие стороны явлений действительности, описываемых теми или иными функциями. Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении нет инструмента, с помощью которого можно исследовать разнообразные функции единым методом. Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения производной к исследованию функций, должен быть, во-первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так называемыми элементарными методами, причём опыт анализа должен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инструментом исследования, т.е. достаточно отчётливо представлять, что такое производная.
По современной программе этим требованиям соответствует 10-11 классы, в которых и предусмотрена специальная тема: Применение производной. Разумеется, что применение производной к исследованию функции не ограничивается рамками этой темы, а продолжается в процессе изучения всего курса начала анализа, в особенности при изучении показательной, логарифмической и тригонометрических функций, изучаемых несколько позднее.
1.2 Анализ учебников
Требования Госстандарта образования к умениям и навыкам учащихся гласят, что учащиеся должны уметь:
вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;
исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;
вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;
применять аппарат математического анализа к решению задач.
Исходя из требований стандарта можно сделать вывод, что учащиеся должны владеть элементарными навыками математического моделирования и в частности, уметь применять математический аппарат при решении задач на отыскание наибольших и наименьших значений различных величин при заданных условиях. Таким образом, реализуется прикладная направленность обучения математике, и осуществляются межпредметные связи с другими диiиплинами. В первую очередь учащиеся должны владеть универсальным методом решения задач на оптимизацию, методом, включающим в себя построение некоторой функции и отыскание ее экстремумов с помощью производной.
Рассмотрим, как данную тему вводят такие авторы учебников как Мордкович А.Г., Колмогоров А.Н., Башмаков М.И.
Сначала рассмотрим серию учебников под редакцией А.Г. Мордковича.
В 7 классе учащиеся первый раз сталкиваются с задачами на экстремум при изучении координатной прямой. Здесь им приходится решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке. Вот пример одной из таких задач:
Укажите наибольшее число, принадлежащее промежутку а) [-15; -11];
б) [5; 7); в) [5; 7].
Так же в 7 классе а теме Линейная функция Мордкович А.Г. вводит само понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он рассматривает линейную функцию y = на отрезке [0;6].
Рис. 1
Соответствующий отрезок графика выделяется на чертеже. Замечается, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение заданной линейной функции на отрезке. Записывается это следующим образом . Далее отмечается, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке [0; 6]. Записывают так .
В 8 и 9 классах учащиеся продолжают сталкиваться с задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значения при изучении квадратичной функции, функции y =, у = (8 класс) и при изучении темы Неравенства (9 класс). Здесь ученикам приходится решать задачи, как на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибол