Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
равенство f(x) ? f(x0).
Учитель: Совершенно верно, а точкой минимума?
Ученики: Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ? f(x0).
Учитель: Каким термином мы с вами условились называть точки максимума и минимума?
Ученики: Точками экстремума
Учитель: Хорошо. А что же мы понимаем с вами под наибольшим и наименьшим значением функции? С данным понятием вы уже знакомы с 7 класса!
Ученики: Данные понятия мы рассматривали в глобальном смысле, т.е. мы говорили о наибольшем (наименьшем) значении функции во всей рассматриваемой области определения.
Учитель: Хорошо, мы разграничили с вами данные понятия. Давайте приступим к следующему заданию. У вас на партах лежат листочки с вопросами (приложение 1), на которые вы будете отвечать. В течении минуты можно обсуждать ответ с соседом по парте. (данные задания выполняются устно)
Какие точки называют критическими? (внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, в которых производная не существует)
Какие точки называются стационарными? (точки, в которых производная функции равна нулю называются стационарными)
Назовите на рис. 1 критические точки. ( f(0) = 4 и f(2) = 0 - крит. точки)
Рис. 6
Каков алгоритм нахождения критических точек? (находим производную функции; приравниваем её к нулю и решаем полученное уравнение; корни полученного уравнения и будут критическими точками исходной функции)
Внимательно посмотрите на рисунки 2, 3, 4,5, 6 вывешенные на доске (и подумайте, верно ли утверждение, что на заданных отрезках наибольшее значение функция принимает в точке максимума).
Рис. 7Рис. 8
Рис. 9
Ответ на 5 вопрос: ученики должны самостоятельно сделать вывод о том, что функция может принимать наибольшее значение не только в точке максимума, но и в концах отрезка.. Ознакомление с новым материалом
. Подготовка к выводу алгоритма
Учитель: Давайте посмотрим на каждый из рисунков и определим, в каких точках функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Точки, о которых будем вести речь условно разделим на два вида: критические точки, концы отрезка (обращаемся к записи этих терминов на доске).
Показываем образец ответа на 2 рисунке: функция достигает наименьшего значения - на конце отрезка, наибольшего - в критической точке. Ниже рисунка делается запись:
, x=0 - стац. точка
,= -1 - конец отрезка
Ученики делают аналогичные заключения по каждому рисунку, учитель записывает результаты под каждым чертежом.
=2 - стац. точка, х=0 - стац. точка
Под рис.4: ; 1
х=b - конец отрезка, х=3 - стац. точка
Под рис.5: ;
х=4 - конец отрезка, х=1 - стац. точка
;
х=4 - конец отрезка, х=1 - конец отрезка
;
х=-1 - крит. точка, х=3,5 - стац. точка,
х=6 - конец отрезка
Рис. 10
Учитель: Давайте обобщим, в каких точках на отрезке функция может принимать наибольшее или наименьшее значение?
Ученики: В критических точках, стационарных или на концах отрезка.
Учитель: А теперь перейдем от наглядного графического способа нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке к более абстрактному - аналитическому. Задана функция y = 3x2 - 6x + 5, требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-3;5]. Ваши действия? Чтобы решение проблемы было действенным, составим алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
. Вывод алгоритма.
Учитель: Итак, мы сделали вывод, что функция может достигать наибольшего значения либо на концах отрезка, либо в критических или стационарных точках, принадлежащих этому отрезку. Как вы думаете, каким должен быть первый шаг алгоритма?
Ученики: 1. Найти критические точки заданной функции. (Записывают в черновиках).
Учитель: Найденные критические точки могут, как принадлежать заданному отрезку, так и не принадлежать. Все ли найденные критические точки будут нас интересовать? Как это скажется на следующем шаге алгоритма?
Ученики: Нет, нас будут интересовать только те критические точки, которые принадлежать заданному отрезку.
Второй шаг алгоритма: 2. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.
Ученики: 3. Найти значение функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
Ученики: 4. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.
Учитель: А теперь сравним составленный вами алгоритм с алгоритмом, вывешенным на доске (вывешивает алгоритм) и обсудим существенность их разницы.
Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у=f(x) на отрезке [a;b]
Найти область определения функции.
Найти производную f`(x).
Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b]
Вычислить значения функции у=f(x) в точках, отобранных на предыдущем шаге, и на концах отрезка, выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.
. Первичное закрепление
Учитель: Итак, вернемся к функции y = 3x2 - 6x + 5, и попробуем найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3;5], опираясь на составленный алгоритм. Учитель сам показывает образец решения, ученики записывают решение в тетради.
Запись решения:
(y): xR?= 6x - 6;
а) Точек в которых производная не существует - нет. б) Найдем точки в которых производная ра