Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?айти наибольшее и наименьшее значения функции, не прибегая к построению графика. Для этого можно рассмотреть следующий график функции y =. В этом случае рассуждают так: ясно, что, значит (это значение достигается функцией в точке x=0). С другой стороны, ясно, что , значит yнаим=0 (это значение достигается функцией при x=3 или x=-3).
Так как обучение строится конкретно-индуктивным методом, мы должны подвести учащихся к следующему правилу:
Если известно, что на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна, то наибольшее и наименьшее значение этой функции принимается в концах отрезка, а именно, если f(x) - возрастающая функция, то f(a) - наименьшее значение и f(b) - наибольшее значение функции f(x); если же если f(x) - убывающая функция, то f(a) - наибольшее значение и f(b) - наименьшее значение функции f(x).
Для этого вначале целесообразно рассмотреть конкретные примеры, с помощью которых учащиеся выйдут на это правило и смогут самостоятельно сформулировать его. Например, можно рассмотреть такую функцию как y=x2 для x[0,1]. Выясняем, как ведет себя функция на отрезке: она непрерывная и возрастающая. Далее делаются выводы о том, что - наименьшее значения функции, - наибольшее значение функции. Целесообразно рассмотреть ещё ряд аналогичных примеров для лучшего понимания.
Далее задание опять несколько усложняется. Учащимся предлагается рассмотреть функцию y=f(x) заданную на отрезке [a,b] (см. рис. 5)
Рис. 5
Видно, что данная функция является непрерывной на отрезке, но не является монотонной. По рисунку определяется, что наибольшее значение функция имеет в точке x=x5, а наименьшее в точке x=a.
Приведя, таким образом, ряд примеров, мы подвели учащихся к тому, что наибольшее и наименьшее значение функция непрерывная на указанном отрезке может достичь в стационарных, критических точках, входящих в отрезок, а так же на концах отрезка. Далее вместе с учащимися составляется алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и этот алгоритм закрепляется на примерах подобных следующим.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции (x)= на отрезках: а) [-8;-1] б) [-1;1]
Решение. Функция f(x) определена на всей числовой прямой. Найдём f?(x):f?(x)=конечная производная f?(x) существует на всей числовой прямой, кроме x=0. Заметим, что f?(x)=0 при Таким образом, точки x1=0 и x2= являются критическими точками данной функции.
а) Пусть x[-8;-1], тогда ни одна из критических точек не попадёт в этот отрезок. Так как для x(-?;0) производная данной функции f?(x)>0, то, следовательно, и для x[-8;-1] f?(x)>0, т.е. функция f(x) возрастает на отрезке [-8;-1]. Из последнего следует, что её наименьшее значение на отрезке [-8;-1] будет при x= -8, т.е. , а наибольшее при x=-1, т.е.
б) Пусть теперь x[-1;1], тогда обе критические точки принадлежат этому отрезку. Поэтому для нахождения на отрезке [-1;1] наибольшего и наименьшего значения функции следует рассмотреть значение функции f(x) в точках: x1=-1, x2=0, x3= x4=1:(1)=-3, f(0)=0, f() ?-1,03 и f(1)=-1. Таким образом,
и
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции (x)= на отрезке [0;3].
Решение. Найдём производную данной функции: f?(x)==
=.
Найдём критические точки: x1=1, x2=2.
Рассмотрим теперь значения данной функции в точках x1=0, x2=1, x3=2 и x4=3: f(0)=-3, f(1)=2, f(2)=1, f(3)=6. Далее из конечного множества чисел {-3,1,2,6} следует выбрать наименьшее и наибольшее, они и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции соответственно. Т.е. , a .
2.1 Конспект урока по теме Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке
Конспект урока написан с опорой на учебник Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11. На тему Наибольшее и наименьшее значение функции отводится 5 часов. Данный урок является первым в изучаемой теме.
Цели урока
Образовательные: вывести алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке; первичное закрепление полученных знаний в процессе решения несложных задач.
Развивающие: создать условия для развития практического и творческого мышления; развитие познавательного интереса учащихся; развитие алгоритмической культуры.
Воспитательные: создать условия для осознания учащимися ценности математических знаний, как средства познаний окружающего мира; воспитание устойчивого интереса к изучению математики.
Структура урока:
Организационный этап; сообщение темы урока(2 мин)
Актуализация опорных знаний (7 мин)
Ознакомление с новым материалом (15 мин)
Обобщение и первичное закрепление нового материала (17 мин)
Подведение итогов урока (2 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Предварительная подготовка к уроку.
записать словосочетания: критические точки, концы отрезка
на доске записывается эпиграф к уроку
вывешиваются плакаты
Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремесла и уменьшить труд людей. Декарт Р.
Ход урока. Организационный момент.
Обращается внимание на готовность класса: учебники, задачники, линейки, черновики.
Здравствуйте, ребята, садитесь. Откройте свои тетради, запишите тему урока: Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.. Актуализация опорных знаний.
Учитель: Прежде чем перейти к изучению новой темы, давайте вспомним, какие точки называются точками максимума?
Ученики: Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется не