Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка в школьном курсе алгебры
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?угольную систему координат так, что:
М0(x0;y0) - центр окружности, совпадающий с началом системы координат и . Пусть - текущая точка окружности.(чертеж 13)
Чертеж 13
Если центр окружности находится в начале координат, то x0=0, y0=0. В этом случае уравнение окружности имеет вид:
,
так как по определению окружности и .) Пусть не совпадает с началом системы координат. По построению окружности:
=тогда или возведя обе части в квадрат получим:
(1)
где уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами (чертеж 14)
Иногда уравнение окружности пишут так: - канонический вид уравнения окружности с центром в точке с координатами
и радиусом R.
Чертеж 14
Изображение окружности
Построим окружность центром в точке и радиусом равным 1.
Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 1 (чертеж 15).
Чертеж 15
) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:
Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программе Mathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 16)
Чертеж 16
Построим окружность центром в точке и радиусом равным 5.
Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 5 (чертеж 17).
Чертеж 17
) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:
Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программе Mathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 19)
Чертеж 18
Вывод уравнения эллипса
Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. Е. - межфокусное расстояние эллипса. (чертеж 8.) [8.С.467]
Чертеж 19
Пусть - произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:
Преобразуем уравнение, умножим уравнение (2) на , получим:
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем равенство(4) в квадрат, получим:
Пусть так как , откуда уравнение имеет вид:
где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.
Соответственно, отсюда получаем уравнение:
где каноническое уравнение эллипса с центром в точке . Где числа а и b соответственно большая и малая полуоси эллипса. Заметим, что а >с Если а < , то фокусы эллипса будут лежать на оси ОУ, если а = , то эллипс превращается в окружность.
Точки , называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
Изображение эллипса
Построим эллипс с центром в точке и с большей осью равной 14 и меньшей осью равной 10.
Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу (чертеж 21).
Чертеж 20
С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение эллипса имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 22)
Чертеж 21
Дано параметрическое уравнение эллипса , построить данную линию второго порядка.
Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу (чертеж 23).
Чертеж 22
С использованием ЭСО- Mathcad:
Для построения линии в Mathcad приведем ее к виду: ,.(чертеж 24)
Чертеж 23
Изображение гиперболы
Построим гиперболу с действительной осью равной 4 и мнимой осью равной 4.
Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=4,2b=4, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (-2;0),(2;0) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 25)
Чертеж 24
С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение линии имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 26)
Чертеж 25
Построим гиперболу с действительной осью равной 10 и мнимой осью равной 8.
а) Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=10,2b=8, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (0;4),(0;-4) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника (чертеж 26)
Чертеж 26
) С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программе Mathcad приводим уравнение к в?/p>