Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
(ГОУ ВПО ВГУ)
Факультет Прикладной математики, информатики и механики
Кафедра нелинейных колебаний
Дипломная работа
Специальность 010501 "Прикладная математика и информатика"
Специализация "Оптимизация и оптимальное управление"
Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой
доктор физико-математических
наук, профессор Задорожний В.Г.
Студент 5 курса Пронин А.А.
Научный руководитель Портнов М.М.
Воронеж 2010
Оглавление
Введение
1. Исследование регулярных и хаотических явлений в вынужденном оiилляторе Дуффинга
2. Стробоскопическое исследование явления
3. Неподвижные точки (точки равновесия) и периодические точки
4. Дважды асимптотические точки и свойства отношений
5. Метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений
5.1 Общая формулировка методов типа Рунге-Кутта
5.2 Метод четвертого порядка точности
5.3 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта
6. Набор устойчивых состояний в оiилляторе Дуффинга
7. Самоподобие фрактала
8. Глобальная структура аттрактора, бифуркации аттракторов и областей притяжения
9. Описание программы
9.1 Описание процедур и функций
9.2 Работа с программой
9.3 Примеры работы программы (скриншоты)
Заключение
Литература
Приложения
Введение
Целью данной работы является аналитическое и численное исследование уравнения Дуффинга и его странных аттракторов. Для анализа решений уравнения был выбран метод стробоскопического исследования Пуанкаре. Для получения решений предполагается использовать численный метод решения дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
Также будет разработана программа, возможностями которой являются изменение параметров уравнения, а также построения траектории движения с нанесением точек последовательности Пуанкаре, и/или самой стробоскопической последовательности с изменением начальной фазы, а также выявление характера решений в зависимости от параметров и построение спектра Фурье для указанных условий уравнения.
1. Исследование регулярных и хаотических явлений в вынужденном оiилляторе Дуффинга
В нелинейных системах возникают различные явления, не только характерные для таких систем, но и нестандартные. Одна из наиболее представительных и простейших нелинейных систем может быть представлена демпфированным (затухающим), вынужденным периодическим нелинейным оiиллятором, и выражаться следующим уравнением:
(1.1)
где - коэффициент демпфирования (затухания),
- нелинейная восстанавливающая сила,
- периодическая функция периода .
Периодические вынужденные колебания, описанные этим уравнением, предоставляют широкий спектр интересных явлений, которые характерны для поведения нелинейных динамических систем, такие как регулярное и хаотическое движение, сосуществующие аттракторы, регулярные и фрактальные границы областей притяжения, а также локальная и глобальная бифуркация.
Уравнение было впервые выведено Дуффингом, и было изучено теоретическим и экспериментальным путем многими исследователями. С феноменальной точки зрения, устойчивое состояние, управляемое уравнением Дуффинга (1.1), может быть периодическим движением, основной период которого также будет равен периоду внешней силы или ее целочисленному множителю. В большинстве стандартных динамических систем устойчивое состояние может быть почти периодическим движением, однако в случае уравнения (1.1) положительный коэффициент демпфирования уничтожает эту возможность. Следовательно, для рассматриваемых систем, регулярное движение является периодическим устойчивым состоянием. Регулярное движение обширно изучается на протяжении уже более 50 лет, однако, из-за полностью определенной природы уравнения, на возможность хаотического движения долгое время не обращали внимания. Специфическое свойство хаотического движения заключается в его долгосрочном поведении, которое не может быть не воспроизведено в повторных опытах при очевидно идентичных начальных условиях. Это сильно контрастирует с идеальным краткосрочным предсказуемым результатом, который гарантируется определенностью природы уравнения (1.1).
Эксперименты на аналоговых и цифровых моделях позволяют провести исследование большинства характерных типов поведения: эти эксперименты необходимы для более полного понимания, однако одних экспериментов недостаточно, вместе с этим требуется осторожная интерпретация в термины геометрической теории динамических систем.
Еще в начале 1970 г существовала теория, что может быть только два типа устойчивых состояний в неавтономных периодических системах второго порядка: периодическое и почти периодическое движение. Похожая теория существовала среди физиков, которые предполагали, что турбулентность (завихрения) жидких сред есть сложная форма почти периодического движения. Эта уверенность была оспорена в 1971 году Руелом и Такенсом, кот