Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
>
Если коэффициенты определены так, что погрешность имеет вид (5.5), то говорят, что формула (5.3) метода Рунге-Кутта имеет порядок точности S, при этом первое слагаемое в (5.5) называют главным членом локальной погрешности метода на шаге.
Известно, что если q=1,2,3,4, то можно подобрать такие коэффициенты , что получится метод Рунге-Кутта порядка точности q. Для q=5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта пятого порядка точности.
5.2 Метод четвертого порядка точности
В этом случае формулы типа Рунге-Кутта содержат 13 неизвестных параметров; условия, обеспечивающие четвертый порядок точности метода на шаге, дают 11 нелинейных уравнений. Ниже приводится три наиболее часто употребляемые формулы.
1. Стандартная формула Рунге-Кутта четвертого порядка
(5.6)
2. Формула трех восьмых
(5.7)
3. Формула четырех шестых
5.3 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта
Методы Рунге-Кутта без труда переносятся на решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности M,
(5.8), где
Формулы Рунге-Кутта записываются в векторном виде
, (5.9)
где
тАж
В качестве примера рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений
(5.10)
и двучленную формулу метода Рунге-Кутта
Обращаем внимание на то, что в записях верхний индекс обозначает номер компоненты векторного решения, а нижний индекс - номер точки, в которой рассматривается решения. Распишем покомпонентно векторную формулу (5.10):
Выражения для главных членов погрешностей в случае решения систем уравнений (6.2) становятся громоздкими. Однако следует подчеркнуть, что выводы относительно главных членов погрешности, сделанные для одного дифференциального уравнения, остаются в силе и для системы дифференциальных уравнений. Если для системы дифференциальных уравнений записывается аналог метода типа Рунге-Кутта порядка S, то главная часть погрешности для каждой компоненты решения имеет также порядок S+1:
(5.11)
Когда говорят, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений получено с абсолютной погрешностью то подразумевают, что все компоненты решения имеют абсолютную погрешность, не превышающую .
6. Набор устойчивых состояний в оiилляторе Дуффинга
Рассмотрим частный случай уравнения Дуффинга (2):
(6.1)
или
, (6.2)
Это уравнение описывает вынужденные колебания в различных системах с постоянным положительным коэффициентом затухания и нелинейной возвращающей силой , представляющей упрощенное выражение сложной симметричной пружины в механической системе, или магнитное насыщение в электрическом контуре с насыщенным стержнем индуктора. В степенях таких уравнений предполагаются некоторые аппроксимации и упрощения, небольшие колебания и помехи не учитываются.
Можно было бы рассмотреть более общий случай, когда вынужденная угловая частота отлична от единицы и коэффициент перед также отличен от единицы. Однако, такая система всегда может быть приведена к уравнению (6.1) через приближенную замену и . Хотя в данном случае удобнее рассматривать вынужденную частоту как параметр, мы используем и как координаты параметрического пространства, и не рассматриваем явный переход в другое эквивалентное параметрическое пространство координат, такое как и .
Симметрия уравнения (6.2), связанная с его инвариантностью при подстановке , , означает, что периодическая траектория также симметрична сама себе по отношению к началу координат плоскости , или же она сосуществует вместе с другой периодической траекторией симметричной к ней по отношению к началу координат. Заметим, тем не менее, что стробированные точки симметрично связанных траекторий могут возникнуть, если только одна точка из пары стробирована с фазой смещения на . Положительность дампинга подразумевает в отсутствие точек-источников и инвариантных замкнутых кривых, представляющих большинство периодических движений (более подробно об этом можно узнать из специализированной литературы). Площадь максимального ограниченного инвариантного множества при отображении определенная уравнением (6.2) обязательно должна быть равна нулю.
В дампированной вынужденной колебательной системе, заданной уравнением (6.1), можно исследовать различные типы устойчивых состояний в зависимости от параметра системы аналогично исследованию типов начальных состояний. Рис.7 показывает области на плоскости , на которых исследовались различные устойчивые движения. Области обследовались и аналоговыми и цифровыми симуляторами. Римскими цифрами I, II, II, III и IV обозначается периодическое движение с периодом . Дробь ( и ) обозначает области, в которых возникают субгармонические или ультрасубгармонические движение порядка . Ультрасубгармоническое движение порядка это периодическое движение с периодом , чья главная частота равна от частоты внешних сил. Вдобавок к этим регулярным устойчивым состояниям, заштрихованными областями обозначены хаотические движения. На участках заштрихованных непрерывными линиями, хаотическое движение возникает однозначно, независимо от начального состояния; там, где части заштрихованы прерывист?/p>