Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
решений. Пусть - неподвижная точка, и - соседняя с точка. Пусть - образ при отображении , тогда получим следующие отношения:
(3.1)
Эта ситуация показана на рис.4 (а) при . Как видно на рисунке, когда попадает в окрестность , ее образ очерчивает эллипс вокруг в том же смысле как . Для малых величин и , и может быть разложена по степеням и :
(3.2)
где , , и , где обозначает значение выражения при . Таким образом, в правой части системы (4.2) неявно выражаются степени больше первой через и . Система (4.2) описывает отображение в окрестности неподвижной точки , и это отображение характеризуется корнями и уравнения
(3.3)
Так как корни и определяются из квадратного уравнения, они либо оба действительные, либо оба комплексно сопряженные. Однако, в этом случае, из общей теории дифференциальных уравнений, их произведение всегда положительно, потому что удовлетворяют следующему равенству
(3.4)
где обозначает значение выражения на рассматриваемом периодическом решении.
Неподвижная точка называется простой, если оба модуля и отличны от единицы. Если один из модулей равен единице, это означает, что неподвижная точка кратная. Левинсон простые неподвижные точки классифицировал так:
сток или полностью устойчивая точка, если и
источник или полностью неустойчивая точка, если и
седло или прямо неустойчивая точка, если
седло или обратно неустойчивая точка, если
Эту же классификацию можно применять и к периодическим точкам.
Рис. 4. Поведение образов в окрестности периодического решения, соответствующего устойчивым типам неподвижной точки
(a) схематический чертеж отображения в координатах
(b) сток
(c) источник
(d) седло
Если неподвижная точка является стоком, то существует окрестность неподвижной точки, которая сжимается к точке, как показано на рис.4 (а) и (b); все точки в этой окрестности стремятся к неподвижной точке при последующем применении отображения . Это значит, что при , соответствующее решение стремится к периодическому решению, так что это периодическое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если неподвижная точка является источником, окрестность неподвижной точки расширяется от точки, как показано на рис.4 (c) и все точки в этой окрестности отклоняются дальше от неподвижной точки при отображении . Если неподвижная точка является седлом, имеет место ситуация, когда окрестность сжимается и расширяется локально при отображении как показано на рис.4 (d). В этом случае, общая граница седла образуется четырьмя инвариантными кривыми или ветками: две ветки, чьи точки стремятся по направлению к седлу при отображении и две ветки, чьи точки стремятся по направлению к седлу при отображении. Для седла различия между прямой и обратной неустойчивостью показаны на рис.5. Здесь последовательные местоположения периодического решения уравнения (2.1) через один период показаны соответственно для прямо неустойчивой неподвижной точки и обратно неустойчивой точки . Выбирая угол стробирования в 12 различных значениях от 0 до , мы проследим вращение, расширение и сжатие на локальных и ветках.
Рис. 5. Схематический чертеж, иллюстрирующий различия между двумя типами сёдел. (a) Прямо неустойчивое седло; (b) Обратно неустойчивое седло;
круглая точка () обозначает расширение ветки
квадратная точка () - сжатие ветки
Заметим, что для более наглядной иллюстрации, фазовая плоскость при немного сдвинута от позиции фазовой плоскости при , это сделано для того, чтобы конечный образ (или ) можно было отличить на рисунке от начального образа. В обоих случаях круглая точка () обозначает расширение ветки, а квадратная точка () - сжатие ветки. В данном случае с наблюдается один полный поворот в течение периода , в случае с наблюдается полуповорот за период. Это только простейший случай; в общем случае может сделать целое число поворотов в течение одного периода, и может сделать полуцелое число поворотов. Показан только локальный линейный участок и веток, большие участки будут представлены кривой линией из-за нелинейности.
Левинсон и Массера исследовали число неподвижных и периодических точек уравнения (2.1) в плоскости . Пусть будет общее число периодических точек и будет общее число полностью устойчивых и полностью неустойчивых периодических точек. Аналогично, пусть и будет число прямо неустойчивых и обратно неустойчивых периодических точек соответственно. Если уравнение (2) имеет максимально ограниченное инвариантное множество и все периодические точки простые, мы имеем следующие:
Для ,
(3.5)
Для
(3.6)
Для
(3.7)
Эти отношения позволяют сделать независимую проверку, является ли численный поиск неподвижных точек или периодических точек завершенным. Если количество и тип исследованных точек не подчиняется этим отношениям, то без сомнения существует неучтенный дополнительный набор точек; однако обратное требование не обязано быть верным: отношения могут выполняться для неполного набора неподвижных и периодических точек.
После неподвижных и периодических точек, следующий простейший тип минимального множества это инвариантная замкнутая кривая в стробоскопическом исследовании (сечении Пуанкаре).
4. Дважды асимптотические точки и свойства отношений
В системах, описанных автономными дифференциальными урав