Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?ми линиями, сосуществуют два различных устойчивых состояния, одно из них хаотическое, а другое постоянное движение, причем возникновение каждого из них зависит от начального состояния. Ультрасубгармонические движения высших порядков () могут возникнуть в системе естественным образом, но они могут существовать только в узких областях и, следовательно, ими пренебрегают на рис.7. Также не учитываются некоторые едва различимые детали границ областей.
Рис.7. Области различных устойчивых состояний для системы определяемой уравнением (6.1)
Используя эту схему, можно для каждого региона выделить набор типичных параметров . Их местоположение обозначено буквами от до на рис.7.
Три случая (), () и () иллюстрируют хаотическое движение, при котором траектории возникают после того, как переходное состояние затухает. Это удивительная особенность хаотических устойчивых состояний, однако, вследствие присутствия небольших ошибок в симуляторе, точная установившаяся траектория не может быть воспроизведена в повторных экспериментах; все же, несмотря на это, такая структура со временем развивается. Это дает более ясную картину при использовании стробоскопической выборки. Для более ясного видения ситуации, только одна траектория проiитывалась долгое время и устойчивое состояние ее стробоскопической орбиты показано на рис.8 для этих трех случаев. Полученные нами орбиты обнаруживают присутствие хаотического аттрактора, то есть движение устойчивого состояния с определенной структурой, а также аспект случайности.
а)
б)
в)
а)(k) k = 0.05, B = 7.50б) (l1) k = 0.25, B = 8.50в) (o1) k = 0.10, B = 12.0
Рис.8. Хаотический аттрактор для трех представленных наборов значений параметров.
Рис.9.
Волны соответствующие хаотическому аттрактору на рис. 9, полученные аналоговым симулятором.
Рис.9 показывает соответствующие формы волны, полученные на аналоговом симуляторе, которые практически неотличимы от результатов случайного процесса.
Как было показано выше, многочисленные аттракторы являются общими для системы (17), и действительно, регулярные и хаотические аттракторы могут сосуществовать, например, для случаев () и (). Можно поставить в соответствие каждому аттрактору множество всех начальных точек, которые приводят к нему; это множество точек называется областью притяжения аттрактора (область стока аттрактора). Такие области отделены ветками нескольких седловых точек в плоскости , и всё вместе - области притяжения всех аттракторов и то, что их отделяет (границы областей), составляют полную плоскость .
Для каждого региона на рис.7, обозначенного римскими цифрами, количество неподвижных точек внутри региона постоянно, но количество точек на границе этих регионов изменяется. Полагается, что все неподвижные точки, которые могут существовать внутри параметрической области рис.7 определены, хотя мы не можем исключить такой возможности, что некоторые неподвижные точки существуют в настолько маленьких регионах, что при небольшом дампировании (затухании) ими можно пренебречь. Будем использовать для обозначения числа периодических только точек-стоков; как и раньше, через и будем обозначать число прямо или обратно неустойчивых седловых неподвижных точек.
Таблица 1. Количество неподвижных точек в плоскости для различных областей параметров.
Область на плоскости kBЧисло неподвижных точек IS (1) = 2D (1) = 1II - II - IIIS (1) или I (1) = 2D (1) = 1IIS (1) = 4D (1) = 3II IIIS (1) = 1D (1) = 2III - IIS (1) = 2D (1) = 1IVS (1) или I (1) = 2D (1) = 1 СнаружиI II III IVS (1) = 1
Рис. 10. Фазовые портреты области притяжения аттрактора последовательно на фазах, отличающихся на период , для случая значений параметра () рис. 7 сжатия.
Рисунок 10 показывает фазовые портреты области притяжения аттрактора последовательно на фазах, отличающихся на период , для случая значений параметра (). В этом случае максимально ограниченное инвариантное множество точек состоит из следующих точек: сток (пустой круг ), прямо неустойчивое седло (черный круг ) вместе с их ветками, и хаотический аттрактор. Неблуждающее множество представляет собой сток, седло и хаотический аттрактор. Последовательность рисунков показывает одно действие вытягивания и сжатия на интервале от до , и далее, на интервале от до аналогично происходит второе действие вытягивания и сжатия симметричным образом. Как мы позже увидим, хаотический аттрактор содержит ровно три седловые неподвижные точки, одну прямо неустойчивого типа и две обратно неустойчивого типа.
7. Самоподобие фрактала
В большинстве физических линейных систем при заданном воздействии на входе, существует только один режим движения. Например, для линейной системы масса - пружина - демпфер это будет затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у нелинейных систем может быть несколько положений равновесия или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может существовать несколько периодических или непериодических движений.
Положения равновесия и периодические движения, или движения по предельным циклам, называются в математической теории динамических систем аттракторами. Диапазон значений входных или управляющих параметров, при которых движение стремится к данному аттрактору