Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
орые предположили, что нерегулярные движения управляются странными аттракторами, что дает лучшее объяснение турбулентности. Теория странных аттракторов широко используется в синергетике, современной прикладной теории управления, часто, в хорошо изученных областях вдруг обнаруживают эти явления.
Рис.1.1 Турбулентный след в течении за круговым цилиндром
уравнение дуффинг аттрактор дифференциальный
2. Стробоскопическое исследование явления
Рассмотрим основные понятия теории дискретных динамических систем в приложении к нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка.
Уравнение (1.1) есть частный случай неавтономной периодической системы
, (2.1)
где и - функции, обе периодичны по с периодом . Здесь необходимое свойство непрерывности и предполагает гарантию существования и единственности решения при любых начальных условиях и для всех .
Решение уравнения (2.1) описывает движение некоторой точки в плоскости . Рассмотрим решение
(2.2)
уравнения (2.1), которое при находится в произвольной точке плоскости . Решение (2.2) описывает кривую пространства , и проекция этой кривой решения на плоскость представляет фазово-плоскостную траекторию движения, с началом движения в точке при . Обратим внимание на местоположение некоторой точки в моменты , где n - целочисленный множитель, равный 0,1,2тАж Бесконечная последовательность точек
(2.3)
где , называется положительной полупоследовательностью или полуорбитой из . Эта полуорбита представляет поведение движения, начатого из точки , таким образом со временем или если n стремится к бесконечности, точки приближаются через неустойчивое состояние к набору точек который представляет конечное устойчивое состояние. Точка накопления на положительной полуорбите (2.3) из называется предельной точкой и набор таких точек называется предельным множеством из . Аналогичным образом на отрицательной полуорбите при определяются предельная точка и предельное множество из . Орбита вместе со своими предельным и предельным множествами называется полной группой.
Стробоскопическое исследование движения точки схематично проиллюстрировано на рис.2.1, где взяли . Константа представляет собой фазу стробоскопического исследования, и она может быть любой величиной выбранной из промежутка между 0 и . Выбор может изменить местоположение стробоскопических точек на орбите, но не изменяет их топологической структуры. Также следует заметить, что благодаря периодичности и перемещение по времени на любое число кратное не изменяет ситуацию.
Рис.2.1 Схематическое изображение стробоскопической последовательности исследования.
(a) кривая решения в пространстве txy
(b) проекция траектории на плоскость xy
(c) стробоскопическая положительная полуорбита в плоскости xy
Это стробоскопическое исследование явления может быть описано в терминах теории дискретных динамических систем. Решение уравнения (2.1) определяет дискретную динамическую систему на или отображение плоскости саму в себя.
, (2.4)
где есть образ при отображении, а обозначает набор параметров, содержащихся в и в уравнении (2.1). Также обозначим обратное отображение , и n-ную итерацию при отображении как . Из свойств решения дифференциального уравнения известно, что отображение (2.4) есть гомеоморфизм, то есть взаимно однозначное непрерывное в обе стороны отображение. При предположении достаточной гладкости, это отображение является диффеоморфизмом, то есть прямое и обратное отображения имеют непрерывные производные. И последнее, отображение (2.4) всегда сохраняет направление.
Строя описанным способом отображения для исследования поведения кривой решения в пространстве , мы можем изучить последовательные образы начальной точки в плоскости или образы дискретной динамической системы в плоскости при отображении самой в себя. Если решение имеет период , то точка является неподвижной точкой при отображении . Эта ситуация проиллюстрирована на рис.2.2 Если решение имеет период , то есть решения с периодом , но не с периодом меньше, чем , точки все будут неподвижными точками при отображении . Каждая такая точка называется m-периодической точкой, а все эти точки вместе называются m-периодической группой. Эта ситуация показана на рис.2.3 при m=2.
Рассмотрим в моменты и уравнение (2.1) и переведем его в фазовое пространство, которое представляет собой декартову систему координат на плоскости с круговым представлением периодов.
Рис.2.2 Периодическое решение с периодом T и неподвижной точкой p0
Рис.2.3 Периодическое решение с периодом 2T и двупериодичными точками p1 и p2
Рисунок показывает, что стробоскопическое отображение является частным случаем отображения Пуанкаре, а стробоскопическая орбита является разрезом Пуанкаре на кривой в пространстве .
3. Неподвижные точки (точки равновесия) и периодические точки
Рассмотрим классификацию неподвижных и периодических точек в соответствии с типом и количеством этих точек, содержащихся в максимально ограниченном инвариантном множестве . Это простейшие типы минимальных множеств из решений уравнения (2.1). Поведение последовательных отображений в окрестности неподвижной или периодической точки определяет стабильность связанных с нею периодических