Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
, называется его областью притяжения в пространстве параметров.
Рис. 13. Схематическое изображение двух аттракторов в фазовом пространстве и границы между их областями притяжения.
Если существуют два или более аттракторов, то переход из одной области притяжения в другую называется границей области притяжения (рис.13). Принято iитать, что в классических задачах граница области притяжения представляет собой гладкую непрерывную линию или поверхность, как на рис.13. Это означает, что, когда входные параметры далеки от границы, небольшие отклонения в их значениях не влияют сколько-нибудь существенно на характер движения. Выяснилось, однако, что во многих нелинейных системах граница областей притяжения негладкая. Более того, она фрактальная. Хотя точного определения фрактала до сих пор не предложено, можно сказать, что фракталом называется структура, состоящая из частей, которые сходны между собой и подобны целому. Отсюда и термин - фрактальная граница области притяжения. Существование фрактальных границ областей притяжения сказывается, причем весьма ощутимо, на поведении динамических систем: при наличии фрактальных границ небольшие вариации начальных условий или других параметров системы могут приводить к значительным изменениям в ее поведении. Тем самым поведение систем с фрактальными гый вид фазового портрета области притяжения аттрактора был продемонстрирован в предыдущем разделе на примере стробоскопические сечения Пуанкаре в различных фазах. На этих портретах границы областей были образованы ветками сёдел при отображении в плоскости. Границы возникали путем поточечного рисования веток, выходящих из сёдел, с течением времени в симуляторе. К примеру, приведенные на рис.11 ветки выглядят весьма простыми и гладкими, значит, они были размещены довольно точно. Однако, как мы увидим позже, для случая границ фрактальных областей, становится очень трудно с помощью этого метода анализировать расположение границ областей, потому как ветки становятся бесконечно растянутыми и прижатыми гомоклиничной структурой, следовательно, можно совершить ошибку при расположении мелких деталей сложных границ областей притяжения при численном эксперименте. В таких ситуациях сложная граница области должна быть определена путем проведения иiерпывающих исследований с различными начальными состояниями.
На рисунке 15 изображена упорядоченная последовательность уменьшающихся областей в плоскости , ясно показывающих структуру Канторова множества границ областей притяжения.
Конца в этой упорядоченной последовательности не существует, и такая геометрическая структура продолжается подобным образом бесконечно.
Это свойство границ областей притяжения было названо самоподобием фрактала. Фрактальная природа границ областей притяжения возникает из-за гомоклиничной структуры инвариантных веток седловой точки, то есть, веток, которые стремятся по направлению к нерезонансному аттрактору и пересекают ветки, которые стремятся к седловой точке с правой стороны.
Заметим, что характеристическое свойство фрактальных областей притяжения аттракторов заключается в том, что характер движения, начатого с границы, хаотический и, следовательно, конечное состояние движения станет недетерминированным (неопределенным).
Рис. 14. Изображение аттрактора с интеграционным размером шага 0,01 для начальным состоянием при , , t=2*
Рис. 15. Увеличенное в масштабе изображение аттрактора с интеграционным размером шага 0,01 с начальным состоянием при , .
При численном моделировании это можно видеть, если увеличить часть отображения, тогда обнаруживается более тонкая структура. Если такая структура множества точек сохраняется после нескольких увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный аттрактор. Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому множеству, является показателем наличия хаотических движений.
Рис. 16. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нелинейным оiиллятором, сохраняющее автомодельную (самоподобную) структуру все меньших и меньших масштабов.
По структуре отображения, можно судить о наличии или отсутствии хаотических колебаний в системе. На основе исследований отображений при различных параметрах, была произведена следующая классификация.
Таблица 2. Классификация отображений Пуанкаре
Конечный набор точек: периодическое или субгармоническое колебаниеЗамкнутая кривая: квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частотНезамкнутая кривая: требуется дополнительное исследование, имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением; построить как функцию Фрактальный набор точек: странный аттрактор в трехмерном фазовом пространствеБесформенный набор точек: 1) динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе; 2) странный аттрактор, но диссипация в системе очень слаба - для проверки используйте показатель Ляпунова; 3) странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями - попытайтесь применить множественное отображение Пуанкаре; 4) квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот
8. Глобальная структура аттрактора, бифуркац