Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
региона содержит случай (). Здесь хаотический аттрактор усиливается или теряет стабильность, когда касается прямо неустойчивой трех-периодичной точки, чьи и ветки формируют гомоклиничную касательную на границе бифуркации. Эта ситуация изображена на рис. 20.
Заметим, что в обоих (и в этом и в предыдущем) случаях, прямо неустойчивая точка на границе области притяжения не имеет гомоклиничной структуры до установления цепи переходов. Это означает, что хаотический аттрактор всегда имеет постоянную границу области притяжения. Может так случиться, что хаотический аттрактор существует в области притяжения с фрактальной границей, то есть гомоклиничная структура проявляется на границе области притяжения до цепи переходов или катастрофы, однако в данной работе этот случай не рассматривается.
Рис. 18. Фазовый портрет области притяжения аттрактора с интеграционным размером шага 0.001 для параметров
Рис. 19. Инвариантная многообразная структура демонстрирует гомоклиничную касательную, соответствующую рис. 18.
, .
Рис. 20. Фазовый портрет области притяжения аттрактора с интеграционным размером шага 0.001 и параметрами , .
Наконец, рассмотрим бифуркацию, проходящую из области в случае () направо в заштрихованную область типичную для случая (). Здесь возникает чуть более сложное явление. Хаотический аттрактор развивается из тройного периода стока для случая (). Сначала эта тройка точек испытывает последовательное удвоение периода, которое приводит к трех-кусочному хаотическому аттрактору; затем обычно внезапно возникает стремительный рост в размере, приводящий из трех-кусочного к одному большому хаотическому аттрактору. Подобные феномены были подробно изучены, и стали широко известны как внутренний кризис.
Заметим, что во всех случаях, когда исследовались хаотические аттракторы, они содержали среди периодических точек низших периодов либо одну обратно неустойчивую точку, либо одну прямо неустойчивую и две обратно неустойчивые точки. По предположению Стюарта, это может быть объяснено действием индексных уравнений Левинсона-Массера в соответствующих подобластях плоскости .
Иногда локальная структура фазового портрета оказывает большое влияние на общую структуру, даже несмотря на то, что все аттракторы являются регулярным периодическим движением. Например, локальный седловой узел или случаи перегиба бифуркации системы испытывают быстрый переход в некоторый другой аттрактор; и может такое произойти, что если действуют два или более аттракторов, один избранный может зависеть очень сильно от того, как бифуркация реализована в симуляторе системы реального мира.
Такие недетерминированные бифуркации могут наблюдаться в уравнении Дуффинга, например, при пересечении границы области на плоскости. Хотя событие бифуркации локально, результат определен глобальной структурой: вероятность стабилизации на различных аттракторах оценивается исходя из структуры инвариантного многообразия.
9. Описание программы
Данная программа была создана с помощью языка программирования Delphy с использованием Borland Delphy 7.0.
9.1 Описание процедур и функций
Procedure FormCreate (Sender: TObject) - инициализация переменных, создание экземпляра объекта.
procedure BitBtn1Click (Sender: TObject) /BitBtn2Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает поле значения начальной точки на заданный шаг.Button1Click (Sender: TObject) - проiитывает координаты по методу Рунге-Кутта и отображает нужные точки на графике.
Внутри этой процедуры содержатся следующие процедуры и функции, необходимые для используемого метода:f1 (t,x,y: real): real - возвращает значение для x, в данном случае, это значение = y.f2 (t,x,v: real): real - возвращает значение для y, в данном случае, это значение = - K*y - x*x*x + B*cos (t).
procedure Runge (a,b,h: real; var x,y: real) - по схеме Рунге-Кутта находит решение уравнения Дуффинга на отрезке [a,b], изменяя при этом точку [x,y] которая изначально соответствует времени t = a, а на выходе получает некоторое значение, соответствующее t = b.
Procedure BitBtn4Click (Sender: TObject) /BitBtn3Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает значение начального состояния системы x0, y0
procedure BitBtn5Click (Sender: TObject) /
procedure BitBtn6Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает количество рассматриваемых периодов для начальной точки.
procedure Edit2Click (Sender: TObject),Edit3Click (Sender: TObject),Edit10Click (Sender: TObject),Edit9Click (Sender: TObject) - процедуры, выделяющее активное поле для изменений.
9.2 Работа с программой
Программа предназначена для численного моделирования и исследования явлений, возникающих в нелинейном уравнении Дуффинга. Исходные данные - начальная точка - точка, из которой начинается движение. K, B - параметры в уравнении Дуффинга. Панель "Графические параметры" содержит поля значений для метода Рунге-Кутта, это шаг интегрирования - "шаг", и "Начальное состояние" - начальное состояние, значения x0 = x (a) и y0 = y (a) (y = x) - значения в начале рассматриваемого промежутка [a,b]. Свиток "Отобразить" представляет из себя два положения - trajectory и attractor, для каждого набора значений параметров пользователь может наблюдать как фазовую траекторию, так и соответствующий аттрактор. В свитке "Периоды" -
задаются порядковые номера точек, которые будут отображены на рисунке "от" и "до" с какой и по какую точки вывести на экран, например вывести на экран точки начиная с 50 до 100. В свитке "Параметры графики" задаются координаты, ограничивающие часть плоскости, которая будет от?/p>