Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
нениями второго порядка, в плоскости не существует двух траекторий, пересекающих друг друга, они могут только приближаться друг к другу, асимптотически двигаясь к точке равновесия. Однако, в неавтономных периодических системах второго порядка возникает несколько другая ситуация: инвариантные ветки седловых точек отображения могут пересекать одна другую, представляя сложную структуру в динамике.
Если мы рассмотрим все и ветки неподвижных или периодических точек для всех порядков в плоскости , то мы увидим, что и ветки не могут пересекать другие и ветки. Однако, ветка может пересекать ветку, и точки пересечения в таком случае называются дважды асимптотическими точками.
Дважды асимптотическая точка называется гомоклиничной, если и ветки на которых она лежит, исходят из одной точки или из двух точек принадлежащих одной периодической группе. Гомоклиничная точка принадлежит простому типу. Дважды асимптотическая точка называются гетероклиничной, если и ветки, на которых она лежит, исходят из двух периодических точек, принадлежащих разным периодическим группам. Говорят, что дважды асимптотическая точка принадлежит общему типу, если две ветки, которые пересекаются в дважды асимптотической точке направлены в противоположные стороны, значит, не совпадают, и существует единственная касательная в точке; в противном случае точка была бы специального типа. Когда отображение не имеет ни дважды асимптотических точек специального типа, ни неподвижных или периодических точек кратного типа, отображение называется принадлежащим общему аналитичному случаю.
Биркхоф доказал следующие теоремы:
В общем аналитичном случае, произвольно малая окрестность гомоклиничной точки содержит бесконечно много периодических точек.
В общем аналитичном случае, произвольно малая окрестность гомоклиничной точки содержит гомоклиничную точку простого типа.
Рис. 6. Схематичная иллюстрация гомоклиничной структуры, показывающая гомоклиничные точки и окрестность периодических точек.
Для того чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, на рис.6. изображен пример гомоклиничной точки простого типа, вместе с окрестностями, а также ветка (вертикальная линия) и ветка (горизонтальная линия). Существование гомоклиничной точки подразумевает существование других гомоклиничных точек и действительно бесконечную последовательность гомоклиничных точек, приближающихся к вдоль своей в ветки, каждая точка является образом своей предыдущей при отображении . Также как последовательность прообразов и так далее является последовательностью гомоклиничных точек, приближающихся к вдоль своей в ветки. Около , растяжение и сжатие окрестности управляется локальной линейной аппроксимацией ; образы такой окрестности, которые схематично изображены заштрихованными областями, становятся крайне вытянутыми и сжатыми при применении вблизи . Пример периодической точки с образами показывает: дополнительные периодические точки больших периодов лежат вблизи гомоклиничных точек.
Оригинальные термины и ветки, которые использует в своей работе Уеда, в другой интерпретации называются ветка - неустойчивым многообразием, а ветка - устойчивым многообразием.
Мы рассмотрели математическое описание поведения идеальной динамической системы которая полностью определена, вмешательство каких-либо шумов исключено, и система описана с абсолютной точностью.
Изучим поведение этой идеальной системы посредством симуляторов реального мира используя аналоговые и цифровые компьютерные устройства. Это привнесет неизбежные помехи, такие как некоторое количество шумов, неточная погрешность, вычислительные ошибки при аппроксимации решения алгоритмами и округление. Хоть такие эффекты невозможно учесть в строгом математическом анализе, эта особенность симуляторов реального мира оказывают сильное влияние на результаты исследования видов инвариантного множества, которое соответствует устойчивому поведению.
5. Метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений
5.1 Общая формулировка методов типа Рунге-Кутта
Пусть на отрезке [x0; x0+X] требуется найти численное решение задачи Коши.
(5.1)
(5.2)
на сетке узлов x0 <x1 <тАж< x0+X.
Методы типа Рунге-Кутта являются явными одношаговыми методами, то есть такими, которые последовательны в каждом узле xi сетке определяют приближенное решение yi на основе известного значения приближенного решения yi-1 в предыдущем узле xi-1. Основная идея метода была предложена К. Рунге в 1895 г., а затем развита В. Кутта в 1901 г. Согласно предложению Рунге, приближенное решение y1 в узле x1=x0+h ищется в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами
(5.3), где
тАж
Коэффициенты определяются из требования, чтобы погрешность равенства (5.1) на точном решении задачи (5.1), (5.2) имела возможно высокий порядок малости при произвольном шаге h для любых уравнений вида (5.1).
Запишем точное решение y (x1) в узле x0+h по формуле Тейлора
, где
.
Погрешность метода на шаге, или локальная погрешность метода, есть величина
(5.4)
Ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:
(5.5)