Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
ии аттракторов и областей притяжения
По мере изменения параметров динамической системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями. Теория, описывающая динамическое поведение в окрестности каждой точки равновесия называется локальной, основная же цель классического динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных картин и описания глобальной картины траекторий между точками равновесия.
Проанализируем полученные экспериментальные данные с теоретической точки зрения, в частности исследуем глобальное инвариантное многообразие структур.
Рисунок 17 показывает хаотический аттрактор для случая () в плоскости, и некоторые взаимодействующию инвариантные многообразные структуры. Аттрактор содержит три неустойчивых неподвижных точки: одну прямо неустойчивую точку и две обратно неустойчивые точки и . и ветки прямо неустойчивой седловой точки частично показаны, и можно наблюдать некоторое число поперечных гомоклиничных пересечений. При движении вдоль этих веток обнаруживается свойство самоподобия. По Биркхофу, это означает существование бесконечного числа периодических точек вблизи гомоклиничных точек.
Численные данные указывают на предположение, что хаотический аттрактор совпадает с замыканием веток или неустойчивым многообразием прямо неустойчивой седловой точки . Этот феномен не является необычным для специфичных параметров в случае (), однако он возникает и при типичных значениях параметра в соответствующей заштрихованной области.
Большинство гомоклиничных пересечений на рис.17 явно поперечные, но существует несколько случаев пересечения, которые очень близки к касательной. Полагается, что чем больше касательных или близких к касательным, тем больше инвариантного многообразия в структуре. Это значит, что структура аттрактора может быть структурно нестабильной в смысле Андронова-Портнягина.
Рис. 17. Хаотический аттрактор для случая () и соответствующая ему многообразная структура.
Численные эксперименты показывают, что всё бесконечное множество периодических движений в аттракторе неустойчивы. Значит, если некоторые точки-стоки существуют, их область притяжения имеет тот же порядок малости, что и минимальные шумы или ошибки, возмущающие систему.
Движение образов в аттракторе при последовательных итерациях является невоспроизводимым, точки, расположенные рядом, при одинаковых начальных условиях, приводят в конечном итоге к сильно различным движениям или формам сигнала. Более того, такая же ситуация возникает при движении, начатом из любой части аттрактора, его свойства будут сильно зависеть от начальных условий. Другими словами, любая выбранная достаточно длинная траектория, после выхода из переходного состояния, будет пытаться заполнить возникшую пустоту идентичной структурой, таким образом замыкая ветки точки . Итак, численные данные жестко указывают на то, что существует единственный переходный аттрактор. Типичная орбита бесконечно повторяется в любой точке аттрактора, таким образом он является устойчивым в смысле Пуассона.
Этот тип движения был назван беспорядочным нестационарным (неустановившимся) движением, или хаотическим движением. Термин "хаос" часто применяется для описания такого вида движения: этот термин явно указывает на случайный вид данного явления, хотя возможно, что он недостаточно хорошо указывает на наличие явной структуры, которая также является важным аспектом движения.
Вернемся к описанию путей исследования хаоса как параметров системы, которые стремятся попасть извне вовнутрь заштрихованной области. Наиболее широко изучен переход путем последовательного удвоения периода, берущий начало из двух симметричных стоков, которые находятся внутри области II. Дуга на рис.7 проходящая между точками () и () показывает место, где возникает первое удвоение периода. Заметим, что в этот период удвоения бифуркационная дуга проходит сверху и вокруг правой стороны заштрихованной области. Типичная траектория в плоскости, которая, пересекая эту дугу, попадает в заштрихованную область, ведет к хаосу через каскад Фейгенбаума, создавая два симметрично расположенных хаотических аттрактора, которые со временем сливаются друг с другом.
Различные бифуркации были исследованы при вхождении в заштрихованную область () справа, то есть из области, типичной для случая (). Здесь на границе заштрихованной области () возникает глобальная бифуркация, что является причиной внезапного возникновения хаотического аттрактора. Глобальная бифуркация представляет собой гомоклиничную касательную к и веткам прямо неустойчивой постоянной точки (черный кружок) на границе области притяжения. Эта ситуация показана на рис.18-19. Значения параметров , являются значениями, где хаотический аттрактор усиливается или теряет стабильность, и также значениями, где прямо неустойчивая постоянная точка имеет гомоклиничную касательную. Это явление было названо "цепью переходов"; оно широко изучено, и его часто относят к граничным кризисам или теории катастроф.
Другой пример такой глобальной бифуркации возникающей вдоль правой границы заштрихованного