Разработка формы учебных текстов для шестого класса на примере темы "Делимость"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
. Это числа:107, 117, 127, 137, 147, 157, 167, 207, 217, 227, 237, 247, 257, 267, 307, 317, 327, 337, 347, 357, 367, 407, 417, 427, 437, 447, 457, 467, 507, 517, 527, 537, 547, 557, 567, 607, 617, 627, 637, 647, 657, 667.
Возьму и выпишу из них все двузначные числа, делящиеся на 7. Это числа:107, 207, 307, 407, 507, 607.
Вижу, что на 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.
Так же возьму и выпишу все однозначные и двузначные числа в 14-ной системе счисления делящиеся на 7.
14, 1014, 1714, 2014, 2714, 3014, 3714, 4014, 4714, 5014, 5714, 6014, 6714, 7014, 7714, 8014, 8714, 9014, 9714.
Вижу, что на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.
Я перебрал все числа, поэтому делаю вывод, что:
) На 7 в 7-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0.
) на 7 в 14-ной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.
Рассуждение 2
Требуется найти признак делимости на 7 в 7-ичной и 14-ной системе счисления. Может мне удастся подметить закономерность в записи чисел делящихся на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.
Выберу произвольно несколько чисел из этих систем счисления. Например, числа: 3657; 2507; 1607; 5207; 43714; 79314; 34014; 34714; 87414. Переведя числа в десятичную систему счисления и поделив на 7, я обнаружил, что на 7 делятся следующие числа:
7; 1607; 5207; 43714; 34014; 34714.
Как увидеть закономерность? На что смотреть? В случае признака делимости на 9 в десятичной системе счисления смотрели, например, на сумму цифр числа. Посмотрю и здесь.
7 2+5+0=7:7
7 1+6+0=7:7
7 5+2+0=7:7
14 4+3+7=14:7
14 3+4+0=7:7
14 3+4+7=14:7
Вижу, что сумма цифр числа всегда делится на 7.
Мне кажется верным предположение: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся те числа, сумма цифр, в записи которых делится на 7. Для чисел 2507; 1607; 5207; 43714; 34014; 34714 мое предположение верно. Но верно ли оно для любого числа?
Переставлю цифры в числе 43714 (от этого сумма цифр не изменится) и получу число 74314.. Сумма цифр этого числа делится на 7, но само число не делится на 7. Это можно проверить переводом числа из 14-ной системы счисления в 10-ную и делением на 7.Контрпример- это пример, опровергающий утверждение.
Следовательно, мое предположение для любого числа неверно и нужно искать другую закономерность.
Еще в случае признаков делимости на 2 и 5 в 10-ной системе счисления смотрели на последнюю цифру числа. Посмотрю и здесь. Вижу, что на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа оканчивающиеся на 0 или 7.
Сделаю предположение: на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 7.
Предположение опровергнуть мне не удалось, поэтому я думаю, что оно верно для любых чисел в 7-ной и 14-ной системах счисления.
Рассуждение 3
Мне известно свойство делимости суммы: если каждое слагаемое суммы делится на 7, то сумма делится на 7. Попробую применить это свойство для вывода признака делимости на 7.
Рассмотрю два числа: 43714 и 74314. Представлю эти числа как сумму трех слагаемых при помощи позиционной записи числа:
43714=4.142+3.14+7
14=7.142+4.14+3.
Замечу, что любое трехзначное число a2a1a0 14 в 14-ной системе счисления можно записать в виде суммы трех слагаемых
a2a1a0 14 =a2. 142+a1.14+a0
Из того, что 14 делится на 7, следует, что a2. 142+a1.14 всегда будет делиться на 7. Для того, чтобы вся сумма делилась на 7 нужно, чтобы последнее слагаемое этой суммы также делилось на 7. А последнее слагаемое в сумме? a2. 142+a1.14+a0 - это последняя цифра в записи числа a2a1a0 14.
Можно сделать вывод, что число a2a1a0 14 в 14-ной системе счисления кратно 7, если последняя цифра в его записи 7 или 0.
Видно, что 43714 -кратно, а 74314 -не кратно семи.
Теперь я могу сформулировать верное утверждение:
Утверждение 1.Любое трехзначное число в 14-ичной системе счисления делится на 7 в том и только в том случае, когда последняя цифра этого числа делится на 7.
Просматривая еще раз свое решение, я заметил две вещи:
) если для делимости необходимо, чтобы последняя цифра (разряд единиц) делилась на 7, то не важно, сколько разрядов будет иметь число. Их может быть n;.
2) число anтАжa0 14 =an. 14n+тАж+a1.14+a0 делится на 7, т.к. 14 делится на 7. Вместо 14 взять числа 7 или 28, или другие числа, делящиеся на 7, и мой признак делимости остается справедливым.
Теперь я могу сформулировать верное утверждение:
Утверждение 2.
Пусть число А записано в системе счисления, основание которой делится на 7. Тогда число А делится на 7 в том и только в том случае, когда его последняя цифра делится на 7.
Я могу представить результат своего исследования в виде теоремы.
Теорема: Число
Доказательство. Верны равенства
Из свойства делимости суммы следует, что последняя сумма делится на 7 тогда и только тогда, когда р Знак делится на 7 и делится на 7.Теорема доказана.
Приложение 3
Карточки с заданиями для занятия 2 в Школе молодого ученого. Определить, истинны ли утверждения:
Приложение 4
Итоговый вариант текстов описывающих ход исследования.
Признак делимости на 7
При изучении признаков делимости возникает такой интересный вопрос: как выглядит признак делимости на 7 в разных системах счисления? Три ученика- младший школьник, ваш ровесник и старшеклассник изучали этот вопрос для чисел, записанных в системах счисления по основаниям 7 и 14.
Они решали такую задачу: Вывести признак делимости на 7 в 7-ной и 14-ной системах счисления.
! Пр