Развитие логического мышления учащихся при решении задач на построение
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
дачу решенной, мы некоторую величину обозначаем буквой х (или другой буквой) и считаем ее известной. Устанавливаем зависимости между этой величиной и величинами, данными в условии задачи, причем из многообразия различных зависимостей выбираем те, которые позволят решить задачу, в данном случае составить уравнение.
Сделаем подобный анализ задачи на построение: Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон.
Чтобы найти решение, нужно вначале изучить условие задачи, посмотреть, какие элементы искомого треугольники даны. Для этого начертим произвольный треугольник А1В1С1 (рис. 25) и отметим элементы, соответствующие данным по условию. Пусть это будет сторона А1С1 и угол С1А1В1. Но на чертеже нет разности двух других сторон. А так как для решения задачи мы должны учесть все данные, то нужно показать и разность.
Рис. 25
Это можно сделать четырьмя способами: на меньшей стороне отложить большую от точки С1 или от точки В1 либо на большей отложить меньшую и вновь откладывать как от точки В1, так и от точки А1. Если разность будет около точки В1, то тогда данные не связаны между собой и нельзя наметить план решения. Если же В1 А1 отложим от точки В1 на В1С1, то данные: основание, угол при основании и разность двух других сторон будут связаны между собой, но и эта связь не дает возможности наметить план решения, она недостаточно жестка, чтобы построить, восстановить фигуру Д2C1A1B1. Лучше всего ввести разность, откладывая B1D1 = B1C1, так как в этом случае мы уже сможем восстановить фигуру С1А1Д1. Конкретизировав таким образом данные задачи, приступаем к составлению плана решения.
Построив в произвольной прямой отрезок, равный основанию, получим две вершины треугольника: А1 и С1. Зная угол С1А1В1, мы можем найти и положение точки D1, где D1А1 = В1А1 В1С1. Остается рассмотреть, как построить точку В1 зная положение точки D1. Так как С1В1 = В1D1, то точка В1 равноудалена от точек С1 и D1, поэтому она должна лежать на перпендикуляре Р1Q1, проведенном к отрезку С1D1 через его середину. Точка пересечения прямой Р1Q1 и луча А1D1 и будет точкой В1. Следовательно, приходим к следующему построению. На произвольной прямой откладываем отрезок, равный основанию, и строим угол, равный данному, одна из сторон которого содержит построенный отрезок, а вершина совпадает с концом этого отрезка. На второй стороне угла откладываем отрезок, равный разности двух других сторон треугольника, и строим геометрическое место точек, равноудаленных от соответствующих концов основания и построенного отрезка. Точку пересечения этого геометрического места со стороной угла, содержащей разность, соединяем с концом основании и получаем искомый треугольник.
Из этого примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру. Название этапа анализ не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
Анализ задачи связан с исходным чертежом, поэтому его необходимо выполнять аккуратно, а фигура должна иметь наиболее общую форму. Если речь идет о треугольнике, то нужно брать разносторонний треугольник; о трапеции, то не равнобочную трапецию; если о четырехугольнике вообще, то и чертим четырехугольник, который не был бы ни параллелограммом, ни трапецией. Если, например, решая задачу на построение треугольника, выберем для анализа равносторонний треугольник, то учащиеся вместо нужных зависимостей между данными и искомыми элементами могут использовать и другие связи, которые возникнут у них под впечатлением равносторонности треугольника.
Чертеж необходимо выполнять аккуратно чертежными инструментами, и лишь после приобретения навыков в вычерчивании отрезков без линейки можно выполнять его от руки. Навыки выполнения чертежей или рисунков от руки особенно необходимы для учащихся, которые в будущем будут иметь дело с техникой, где они должны уметь делать эскизы деталей. С этим они не смогут справиться, не имея простейших навыков технического рисования и черчения.
Чертеж должен строго соответствовать условию задачи. В ряде случаев целесообразно при анализе построение чертежа начинать не с данных, а с искомых элементов фигуры. Если, например, искомая окружность по условию касается некоторой прямой и некоторой окружности в данной на ней точке, то и на чертеже для анализа мы должны видеть их касающимися. Следовательно, вначале надо построить окружность, изображающую искомую, и пристроить касающиеся