Применение теории массового обслуживания в исследовании рынка
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
? занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).
Таким образом, подобная СМО может находиться в одном из следующих (n+1) состояний: s0 - все n каналов свободны; s1 - занят только один из каналов, остальные (n-1) каналов свободны; si - заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; sn - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис.4.
Рис.4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами.
При этом имеет место а
Пользуясь общим правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис.2 и рис.3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений:
например, для одноканальной СМО (рис.2) имеем:
для многоканальной СМО (рис.3) соответственно имеем:
Решив первую систему уравнений, можно найти значения p0 (t) и p1 (t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях:
) ? >;
) ?=;
) ?< (рис.5 а, б, в). Можно также определить предельную пропускную способность СМО. Решение второй системы уравнений для многоканальной СМО в аналитическом виде получить вручную сложно, и его обычно получают с помощью ЭВМ в численном виде.
Рис.5 а, б, в, г.
В целом, характеристики одноканальной СМО с отказами приведены ниже и особых пояснений не требуют [17].
Таблица 1. Характеристики одноканальной СМО с отказами.
Характеристика в момент времени tОбозначения, формулыВероятность того, что канал свободенВероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживаниюВероятность занятости каналаВероятность отказа заявкиОтносительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших) Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число обслуженных заявок за единицу времени) Интенсивность выходящего потока обслуженных заявокСреднее время обслуживания заявокСреднее время пребывания заявки в системеВероятность того, что канал свободенВероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанияВероятность занятности каналаВероятность отказа заявкеОтносительная пропускная способность СМОАбсолютная пропускная способность СМОИнтенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявокСреднее время обслуживания заявокСреднее время пребывания заявки в системе
1.1.2.3.2 СМО с ожиданием
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью ?. Интенсивность потока обслуживания равна (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис.6.
Рис.6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S0 - канал свободен;
S1 - канал занят (очереди нет);
S2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);
Sn - канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);
SN - канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
(1.11)
где ?=?/; n - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид:
(1.12)
(1.13)
Тогда
Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением ?/=?. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1): вероятность отказа в обслуживании заявки:
(1.14)
относительная пропускная способность системы:
(1.15)
абсолютная пропускная способность:
(1.16)
среднее число находящихся в системе заявок:
(1.17)
среднее время пребывания заявки в системе:
(1.18)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
(1.19)
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
. (1.20) [2, 89 - 92].
Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность ?, а поток обслуживаний - интенсивность . Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.
Система может находиться в одном состоянии S0, S1, S2,тАж,Sk,тАж,Sn,тАж, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S1 - занят один