Применение теории массового обслуживания в исследовании рынка
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
Вµбования поступают через равные промежутки времени. Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования поступают по известной программе - расписанию, когда моменты поступления новых требований известны заранее.
Рис.2. Классификация входного потока
Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастический процесс.
Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастическими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований.
Произвольный поток требований характеризуется тем, что на него не накладывается никаких ограничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а также на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями.
Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:
продолжительность интервалов между поступлениями требований стохастически независимы;
продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения.
Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерно:
продолжительность интервалов между поступлениями требований статистически независимы;
продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения;
вероятность поступления требований на достаточно малом интервале ?t зависит только лишь от величины ?t (это свойство называется стационарностью или однородностью прихода);
вероятность поступления требований на интервале ?t не зависит от предыстории процесса;
характер потока требований таков, что в любой момент времени может поступить только одно требование.
Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.
Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом:
(1.1)
где ? - интенсивность поступления заявок в систему.
Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими).
Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга.
(1.2)
1.1.2.2 Классификация процессов обслуживания
Обозначения Кендалла систем массового обслуживания.
Аналогично входному потоку процесс обслуживания требований может быть детерминированным и стохастическим.
Детерминированный процесс обслуживания характеризуется постоянной величиной времени обслуживания
где - интенсивность обслуживания, которая представляет собой число требований, обслуживаемых в единицу времени.
Стохастический процесс обслуживания может быть произвольным, рекуррентным или совершенно случайным, как и при описании входного потока требований [15].
При рассмотрении систем массового обслуживания часто используются обозначения предложенные Кендаллом. Они позволяют описать СМО с помощью следующих трех элементов: вид входного потока, распределение продолжительности обслуживания, число обслуживающих приборов.
Используются следующие обозначения:- пуассоновское или экспоненциальное распределение;- постоянная величина;k - распределение Эрланга;- общий вид распределения;- рекуррентный входной поток.
Общий вид, характеризующий систему массового обслуживания, представляет собой следующую последовательность:
где Н1 - характеристика входного потока, H2 - характеристика времени обслуживания прибора, i - число приборов.
Например, система M /D /s - система с s приборами, обслуживающая поступающие требования за строго определенный интервал времени, поступающие требования образуют пуассоновский поток [16].
1.1.2.3 Классификация систем массового обслуживания
По характеру обслуживания.
1.1.2.3.1 СМО с отказами
Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок Пвх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inПвх=?. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо ? записывают ? (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Тоб распределено по показательному закону и записывается в виде: , где ? - интенсивность отказов.
Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S0 - канал свободен и простаивает, S1 - канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок Пвх, а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживании Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в S1 и обратно равны соответственно ? и . Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис.3.
Рис.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.
Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же условиях состояния системы обозначим по числ