Особенности изучения квадратичной функции и её приложений в школьном курсе математики
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
В±никах рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены только в учебнике А.Г. Мордковича и др.
В учебнике Г.В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках - алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена строго по делу, без отступлений.
В учебниках А.Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:
графическое решение уравнений;
отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;
преобразование графиков;
функциональная символика;
кусочная функция;
чтение графика.
Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной [22].
В учебнике Ш.А. Алимова и др. квадратичной функции и ее приложениям посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.
В учебнике Ю.Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.
Глава 2. Методическая разработка по теме Квадратичная функция и ее приложения
Квадратичная функция в школьном курсе изучается с 7-го (в некоторых учебниках с 8-го) класса. Приложениям квадратичной функции уделяется особое внимание. Очень важно, чтобы ученики при получении знаний, впоследствии могли применять их на практике.
В данной главе рассматриваются приложения квадратичной функции по 4 разделам:
. Построение и чтение графика квадратичной функции.
. Решение уравнений и их систем.
. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.
. Решение квадратных неравенств с параметрами.
К каждому разделу подобраны (частично взяты из сборников, остальные составлены самостоятельно нами) задачи. К некоторым наиболее типичным заданиям приведены решения и комментарии. Также имеются задачи для самостоятельного решения с ответами.
Данная разработка носит обучающий характер и может быть применима учителем, на уроке, факультативе, при дифференцированном обучении, в качестве домашних заданий, в том числе индивидуальных.
. Построение и чтение графика квадратичной функции.
Использование на уроках алгебры кусочных функций позволяет учителю разнообразить урок, сделать его творческим и интересным. Ученики сами могут составлять свои примеры. Более того, кусочные функции реализовывают наше представление о реальном мире.
. Постройте график функции , где
Укажите промежутки возрастания функции.
Решение:
.
x-2-1012y0-0,75-1-0,750
.
х02у20
.
х0-2у20
Функция возрастает при и при .
Ответ: ;
. Известно, что график квадратичной функции симметричен относительно прямой и проходит через точку К (-2;-4). Постройте этот график.
Решение:
Подставим координаты точки К в уравнение .
Графиком функции является парабола. Т. к. известно, что график заданной функции симметричен относительно прямой , то вершина параболы имеет координаты .
Координаты вершины:
Составим систему уравнений:
Получили функцию:
Построим график этой функции.
x-20246y-4242-4
3. Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая ? (Для каждого случая укажите соответствующее значение m).
Решение:
Рассмотрим 2 случая:
. Если , тогда
Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
или
Координаты вершины:
х024у0-40
. Если , тогда
Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх.
Нули функции:
или
Координаты вершины:
х-4-20у0-40
Возможны 4 случая:
нет общих точек - при
общие точки - при и при
общие точки - при
общие точки - при
Задачи для самостоятельного решения
. Построить графики функций в одной системе координат:
=x2x i [-2 ; 2]=-x2 + 4x i [-1 ; 1]= - (x + 2)2 + 4x i [-2 ; -1]= - (x - 2)2 + 4x i [1 ; 2]= - (x - 1.5)2 - 3x i [0 ; 1.5]= - (x + 1.5)2 - 4x i [-1.5 ; 0]=x2 - 6x i [-1.4 ; 0]=x2 - 5x i [0 ; 1.4]
. По графикам функций, изображенным на рисунке, восстановите аналитическую запись функций, если известно, что все эти графики получены из графика функции только с помощью движений и симметрии. Указание: в случае необходимости используйте шаблон графика функции.
3. На рисунке изображен график функции . Используя график, решите неравенство