Особенности изучения квадратичной функции и её приложений в школьном курсе математики
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
. С помощью графиков функций, вычислите координаты точек пересечения парабол:
А) и
Б) и
. Постройте график функции , где . Укажите промежутки возрастания функции.
. Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая ? (Для каждого случая укажите соответствующее значение m).
. Парабола пересекает ось х в точке . Найдите значение с и определите, пересекает ли эта парабола прямую .
. При каких значениях а парабола пересекает ось х в двух точках и ее ветви направлены вниз?
. При каких положительных значениях k, парабола и прямая не пересекаются?
. При каких значениях n парабола целиком расположена ниже прямой ?
Ответы:
.
. (0,3;-3,8); (3,7;10,5)
Функция возрастает на промежутках
нет общих точек - при
общие точки - при и при
общие точки - при
общие точки - при
. с=18(3;0)
8.
.
.
. Решение квадратных уравнений и систем уравнений.
При решении следующих заданий удобно применить функционально-графический метод решения. Суть этого метода состоит в том, что для уравнения вида , нужно построить в одной системе координат графики функций и . Затем найти точки их пересечения: абiиссы точек пересечения будут являться корнями заданного уравнения. Этот метод позволяет определить количество решений уравнения.
. Выясните, имеет ли корни уравнение:
Решение:
Чтобы решить данное уравнение, построим графики функций левой и правой частей уравнения:
.
.
. Графиком функции является парабола. Ветви направлены вверх.
Координаты вершины:
х-2,75-1,7500,75у2,875-3,125-4-0,625
.
х-1-0.500.51у-6-1.37511.8752
Ответ: уравнение имеет корни.
. Сколько решений имеет система уравнений
Решение:
Построим графики функций:
. Графиком функции является гипербола, расположенная в I и III четвертях.
х124-1-2-4у21-2-1
. Графиком функции является парабола, ветви направлены вниз.
Координаты вершины:
х-2-1012у14541
Ответ: система имеет 3 решения.
Данная система методом подстановки не решается, т.к. получается кубическое уравнение.
Задачи для самостоятельного решения
. Выясните, имеет ли корни уравнение:
. Решите уравнение:
. Решите уравнение:
. Решите уравнение:
. Сколько решений имеет система уравнений:
Ответы:
Имеет;
,8;
,07; 1,5;
,8;
Решение уравнений и неравенств с параметрами довольно трудоемкое занятие и зачастую вызывают трудности в решении у учащихся. Здесь требуется применение ранее полученных знаний не только алгоритмов решения уравнения (неравенства), но и определенных свойств функций. Такими задачами проверяется понимание материала учащимися.
. Решение квадратных уравнений с параметрами, в том числе, поиск параметра в зависимости от свойств корней уравнения.
. При каком наибольшем значении параметра а, уравнение имеет хотя бы одно решение?
Решение:
Рассмотрим функцию и построим ее график.
Графиком квадратичной функции является парабола, ветви направлены вниз (т.к. -2<0).
Координаты вершины:
х-10123у-9-3-1-3-9
- наибольшее значение функции.
Значит, - наибольшее значение, при котором уравнение имеет решение.
Ответ: -1.
. При каких значениях а уравнение имеет один корень?
Решение:
Рассмотрим функцию .
) Если , то функция является квадратичной.
Уравнение имеет один корень, если .
) Если , (т.е. ) то функция является линейной, а уравнение принимает вид . Это уравнение имеет один корень.
Ответ:
. При каких значениях p уравнение (1) имеет решение?
Решение:
Это уравнение квадратное относительно и чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти значение p, при которых корни уравнения удовлетворяют условию .
Зададим функцию .
Графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Рассмотрим 4 случая:
) Только больший корень лежит в интервале
.
) Только меньший корень трехчлена лежит в интервале
.
) Оба корня трехчлена лежат в интервале
4) Число является корнем трехчлена, если , т.е. если и . Число будет корнем трехчлена, если и .
Итак, все значения , при которых уравнение (1) имеет решение, определяются неравенством : .
Ответ:
. Для каждого действительного числа а решить уравнение: (1).
Решение:
Представим уравнение (1) в виде (2) и построим график функции .
Для построения графика функции можно использовать свойство четности. Данный график сначала строится для , функция в этом случае принимает вид . Далее график симметрично отображается относительно оси Оу.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.
Координаты вершины:
х-2-1-0,501у20-0,2502
Решением уравнения (2) для различных значений параметра а представляются абiиссы точек пересечения графика функции и графика прямой .
Отсюда при получаем 2 системы:
1) 2)
Ответ: при ;
при ;
при уравнение (1