Особенности изучения квадратичной функции и её приложений в школьном курсе математики
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?атривается прямоугольная система координат, понятие функции, линейная функция и ее график.
класс
В данном учебнике изучение квадратичной функции начинается в 5 главе после изучения квадратных корней и квадратных уравнений.
Сначала рассматриваются примеры из разных областей науки и техники, где встречаются квадратичные функции.
После этого вводится определение квадратичной функции, и рассматриваются примеры квадратичных функций и задачи.
Найти значение функции при
При каких значениях х квадратичная функция принимает значение, равное 7;
Найти нули функции .
Авторы предлагают решать такие задачи аналитически: подстановкой заданного значения в формулу.
Только после этого начинается рассмотрение непосредственно квадратичной функции, ее некоторых свойств и графика.
Функция вводится как частный случай функции при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составляется таблица ее значений, строятся указанные в таблице точки, соединяют плавной линией. Кривая, являющаяся графиком функции , называется параболой.
После этого рассматривается функция .
Приводится пример построения графика функции , зная график функции . Для построения составляется таблица значений функции . Говорят, что график функции получается растяжением графика функции от оси Ox вдоль оси Oy в два раза.
Аналогичным образом, на примере, авторы демонстрируют сжатие графика. График функции получается сжатием графика функции к оси Ox вдоль оси Oy в два раза.
Затем рассматриваются функции и . График функции можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции .
Далее авторами рассматривается функция . В начале параграфа рассматривается задача: построить график функции и сравнить его с графиком функции .
Как и для функции сначала составляется таблица значений функции . Найденные точки отмечаются на координатной прямой и соединяются плавной линией. Первая часть задачи решена. Далее сравниваются функции и . Сначала преобразуется формула , используя метод выделения полного квадрата. Затем сравниваются графики частями. Сначала - функции и . Отсюда делается вывод, что графиком функции является парабола, полученная из параболы сдвигом (параллельным переносом) вправо на единицу.
После этого сравниваются функции и . Получается, что графиком функции является парабола, полученная сдвигом параболы вверх на две единицы.
Из всего этого следует, что графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы на единицу вправо и на две единицы вверх.
Далее авторы обобщают ранее объясненное.
Задачи, предлагаемые для закрепления данного материала выглядят так:
. С помощью шаблона параболы построить график функции .
. Записать уравнение параболы, полученной из параболы сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо.
Также в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В конце дается подробный алгоритм решения неравенств графическим методом.
В качестве дополнительного более сложного материала производится исследование квадратичной функции на основе теорем:
. Если , то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа .
. Если , то при всех действительных значения х, кроме , знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при значение квадратичной функции равно нулю.
. Если , то знак квадратичной функции совпадает со знаком числа для всех х, лежащих вне отрезка , т. е. при и при , где - нули функции, знак квадратичной функции противоположен знаку числа а при .
класс.
Квадратичная функция не рассматривается в 9 классе.
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
класс
В 7 классе данный коллектив авторов функцию не рассматривает.
класс
В 8 классе авторы вводят понятие функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.
При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства.
После формулировки каждого свойства даются пояснения.
Затем рассматривается график функции и определяются ранее обозначенные свойства функции . Также дается определение параболы.
Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции .
После этого вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Его определение производится по графику функции .
Далее авторы рассматривают функцию . Сравниваются две функции и и делается вывод, что график функции получается из графика функции растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции , если , получается из графика функции растяжением последнего в а раз вдоль оси у; если же , то сжатием последнего в раз.
Далее рассматривается функция . При этом изучаются 2 функции: сначала , а затем .
Затем авторы рассматривают график функции . Приведена теорема: Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке , полученная параллельным переносом параболы , где . Эта теорема приводится с доказательством. На закрепление данного материала учащимся предлагаются задания на построение графика квадратичной функции.
класс
В 9 классе квадратичная функция данным коллек