Доклад по предмету Математика и статистика

• 1. VII Соросовская олимпиада
  Доклады Математика и статистика

  9-I-4. Расстояние между городами A и B равно 30 км. Из A выехал автобус, который через каждые 5 км делает остановку продолжительностью 2 мин. Между остановками автобус движется со скоростью 80 км/ч. Одновременно с отправлением автобуса из A навстречу ему из B выезжает велосипедист, который едет со скоростью 27 км/ч. На каком расстоянии от A велосипедист встретится с автобусом?

• 2. Аксиоматический метод в геометрии
  Доклады Математика и статистика

  На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую (см. рисунок 1). Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.

• 3. Аксиомы планиметрии
  Доклады Математика и статистика

  Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них. Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии. Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики. В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах. После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту. Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались "Элементы". Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе "Начала". От латинского названия "Начал" произошёл термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида. "Начала" Евклида состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии. "Начала" начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых". Пять "общих понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части". Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую".

• 4. Алгоритм решения Диофантовых уравнений
  Доклады Математика и статистика

• 5. Анализ дискретного фильтра II порядка
  Доклады Математика и статистика

  Все полюса передаточной функции находятся внутри единичного круга Z - плоскости . Условие выполняется т. к. 1.17 < 1.661 < 2. Следовательно фильтр устойчив.

• 6. Анализ Фурье
  Доклады Математика и статистика

  Метод анализа был основан на так называемых рядах Фурье. В соответствии с принципом интерференции ряд начинается с разложения сложной формы на простые например, изменение земной поверхности объясняется землетрясением, изменения орбиты кометы влиянием притяжения нескольких планет, изменение потока тепла его прохождением сквозь препятствие неправильной формы из теплоизолирующего материала. Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом. (Говоря языком математики, ряд Фурье это метод представления функции суммой гармоник синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ».)

• 7. Астрономические инструменты. Угломерные инструменты
  Доклады Математика и статистика

  Интересно, что у почти у всех начинающих любителей астрономии бессознательно сложилось мнение, что первый прибор по астрономии, который они должны иметь это хотя бы небольшой телескоп, или нечто подобное, бинокль или монокуляр. Но астрономы знали и менее "примитивных" помощников в своем труде, чем бинокли и телескопы, и эти помощники и ныне могут сыграть свою полезную роль при любительских наблюдениях, пусть и своебразную и небольшую (да и сейчас профессионалы-астрономы все еще пользуются механизмами этих приборов, оснащают ими телескопы для точности, и используют все для того же определения углов на небесной сфере). До 1611 года, до знаменательного года изобретения телескопа всем достославным Галилео Галилеем (или кем-то еще раннее, но все равно он был первым, использавшим телескоп для серъезных астрономических наблюдений), астрономы пользовались всякими расчерченными на градусы в прямом смысле деревянными палочками и перекладинами, квадратиками и кружочками больших и малых размеров. Это были всякие там астрономические посохи, высотомеры, секстанты, квадранты и трикветры. Ими пользовались древнегреческие астрономы (а они почти все эти инструменты впервые и создали), и Аристарх, и Гиппарх, и Птолемей, и в средние века арабские астрономы довели их до совершенства. Использовались эти приборы для решения задач самого раннего зародившегося раздела астрономии астрометрии, занимающейся вопросами над небесными светилами "Где, когда, и что" для расчета положений светил на небесной сфере, расстояний между звездами, определению по небу времени, и поэтому они и называются угломерными инструментами. Как и все приборы они требовали большей точности, и их и делали для этого как можно большими, а у арабских астрономов они стали настоящими громадинами, так квадранты достигали радиуса 60 м, а Николай Коперник с помощью таких приборов определяющий координаты планет и рассчитывающий по ним уже свою гелиоцентрическую систему, пользовался приборами, намного превышающими его рост. Но не обязательно было всегда делать такие громадины, для многих задач подходили и маленькие приборы. И конечно же, такие приборы (пусть и станут они у вас самыми первыми или новыми помощниками, если уже у вас есть бинокль или телескоп, делать их намного проще самого простого телескопа), по силу сделать их любому любителю астрономии, человеку. Основные материалы для этого найдутся у всех: дерево, пила, и транспортир… И благо, с ними можно и делать много полезного, они хорошие помощники в тех же визуальных наблюдениях метеоров, они помогают точнее, лучше и удобнее определить координаты метеора, положения серебристых облаков (которые также наблюдаются в основном визуально), совсем новичкам в наблюдениях звездного неба помогут легче понять смысл эфемерид и найти самим на небе планеты, понять структуру и определения начальных теорий небесной сферы. К тому же и просто приятно обнаружить себя в душе каким-то древним астрономом, ощутить на себе эхо далекого прошлого, посмотреть на небо глазами древнего грека, араба с жарких пустынь, Улугбека, Коперника или Тихо Браге! А ниже пусть и некоторые угломерные инструменты, и как их делать, что я насобирал из всякой астролитературы, которой уже и не помню. Многое соорудил сам, видя лишь где-то картинку какого-то исторического угломерного инструмента.

• 8. Астрономия в 19 веке.
  Доклады Математика и статистика

  В 1871 Немецкое астрономическое общество организовало совместный обзор собственных движений звезд многими обсерваториями мира, выделив каждой обсерватории свой участок неба. В 1887 начался проект Карта неба (Carte du Ciel) по созданию фотографического каталога всех звезд до 15-й величины. Этот гигантский проект длился более века, загрузив работой многие обсерватории. Было отснято 22 200 фотопластинок, а неполный каталог опубликован только в 1964. Между 1918 и 1924 вышел 9-томный Каталог Гарвардской обсерватории (Henry Draper Catalogue, HD,), содержащий классификацию спектров 225 300 звезд, проделанную Э.Кэннон по гарвардской системе. Полностью эту работу завершили ученые Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга (МГУ, Москва), создав в 1995 Астрографический каталог Карты неба, содержащий точные положения (ошибка 0,3ўў) и собственные движения 4,5 млн. звезд.

• 9. Астрономия в 20 веке
  Доклады Математика и статистика

  Огромное значение для исследования звёздной системы и эволюции звёзд имеет зависимость светимости звёзд от спектрального класса, выражающаяся диаграммой Герцшпрунга Ресселла и позволяющая составить более полные представления о путях развития звёзд. Успехи современной физики помогли найти и изучить источники звёздной энергии и разработать теорию эволюции звёзд на основе ядерных процессов, совершающихся в их недрах. В свою очередь, результаты астрофизических исследований значительно способствовали успехам ядерной физики. Эволюционные идеи в А. появились намного раньше, чем в других естественных науках. Сформулированная ещё в 1755 И. Кантом космогоническая гипотеза ясно отражала эту мысль. Постепенно формировалось сознание того, что мир произошёл не в результате единовременного акта творения, а что образование звёзд, планетных систем и других небесных объектов есть постоянный процесс, совершающийся и в настоящее время. Подтверждением этого явились закономерности звёздных ассоциаций, изучение которых начато В. А. Амбарцумяном в 1946. Эти объекты состоят из широко рассеянных групп сравнительно молодых звёзд совместного происхождения, возраст которых оценивается в несколько миллионов лет, тогда как возраст Солнца исчисляется миллиардами лет. Начато изучение ещё одного важного космогонического фактора, играющего большую роль в процессах, совершающихся в межзвёздной среде. Это межзвёздные магнитные поля. В то время как раньше космогонические теории строились с учётом лишь инерциальных сил и сил всемирного тяготения, теперь принимаются во внимание также и другие воздействия световое давление и магнитные силы.

• 10. Белое пятно в электричестве
  Доклады Математика и статистика

  Заинтересовались рентгеновскими лучами и в России. Еще не было официальных научных публикаций, отзывов на них, точных данных об аппаратуре, лишь появилось краткое сообщение о докладе Рентгена, а под Петербургом, в Кронштадте, изобретатель радио Александр Степанович Попов уже приступает к созданию первого отечественного рентгеновского аппарата. Об этом факте мало известно. О роли А. С. Попова в разработке первых отечественных рентгеновских аппаратов, их внедрении, пожалуй, впервые стало известно из книги Ф. Вейткова. Новые достижения электротехники соответственно расширили возможности исследования "живого" электричества. Маттеучи, применив созданный к тому времени гальванометр, доказал, что при жизнедеятельности мышц возникает электрический потенциал. Разрезав мышцу поперёк волокон, он соединил её с одним из полюсов гальванометра, а продольную поверхность мышцы соединил с другим полюсом и получил потенциал в пределах 10-80 мВ. Значение потенциала обусловлено видом мышц. По утверждению Маттеучи, биоток течёт от продольной поверхности к поперечному разрезу, и поперечный разрез является электроотрицательным. Этот любопытный факт был подтверждён опытами над различными животными - черепахами, кроликами и птицами, проводимыми рядом исследователей, из которых следует выделить немецких физиологов Дюбуа-Реймона, Германа и нашего соотечественника В. Ю. Чаговца. Пельтье в 1834 году опубликовал работу, в которой излагались результаты исследования взаимодействия биопотенциалов с протекающим по живой ткани постоянным током. Оказалось, что полярность биопотенциалов при этом меняется. Изменяется и амплитуда. Одновременно наблюдалось и изменение физиологических функций. В лабораториях физиологов, биологов, медиков появляются электроизмерительные приборы, обладающие достаточной чувствительностью и соответствующими пределами измерений. Накапливается большой и разносторонний экспериментальный материал.

• 11. Блеск звезд
  Доклады Математика и статистика

  Можно подсчитать, во сколько раз звезды 1-й звездной величины ярче звезд 6-й звездной величины. Для этого нужно 2,5 взять множителем 5 раз. В результате получится, что звезды 1-ой звездной величины ярче по блеску звезд 6-й звездной величины в 100 раз. Всего на небе наблюдается 20 наиболее ярких звезд, о которых обычно говорят, что это звезды первой величины. Но это не значит, что они имеют одинаковую яркость. На самом деле одни из них несколько ярче 1-ой величины, другие несколько слабее и только одна из них - звезда в точности 1-й величины. Такое же положение и со звездами 2-й, 3-й и последующих величин. Поэтому для точного обозначения яркости той или иной звезды приходится прибегать к дробям. Так, например, те звезды, которые по своей яркости находятся посредине между звездами 1-й и 2-й звездных величин, считают принадлежащими к 1,5-й звездной величине. Есть звезды, имеющие звездные величины 1,6; 2,3; 3,4; 5,5 и т. д. На небе видно несколько особенно ярких звезд, которые по своему блеску превышают блеск звезд 1-й звездной величины. Для этих звезд ввели нулевую и отрицательные звездные величины. Так, например, самая яркая звезда северного полушария неба - Вега - имеет блеск 0,1 звездной величины, а самая яркая звезда всего неба - Сириус - имеет блеск минус 1,3 звездной величины. Для всех звезд, видимых невооруженным глазом, и для многих более слабых точно измерена их звездная величина.

• 12. Введение в практику радиоэлектроники
  Доклады Математика и статистика

  Начнем с оборудования, которое нам понадобится. Во-первых, вольтметр, амперметр и омметр, а, лучше всего, цифровой авометр (композиция этих трех приборов; его можно купить в любом магазине, где продается что-либо, связанное с электричеством, за 500 русских рублей). Без него вы даже не сможете определить, идет ли ток по вашей цепи или нет. Затем паяльник. ВНИМАНИЕ: мы будем работать с полупроводниками, а они боятся чрезмерно высоких температур. Лучше приобрести специальный низковольтный (12-36В) паяльник с адаптером, иначе вы можете сжечь еще не доделанный прибор. Также держите под рукой следующие инструменты: кусачки, плоскогубцы, пинцет, несколько отверток с разными размерами рабочей части, нож и надфиль. Если вы не хотите испортить полированный стол, вырежьте из оргалита, текстолита или фанеры лист размером примерно 600x400 см, чтобы класть его на стол во время работы.

• 13. Векторы
  Доклады Математика и статистика

  Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

• 14. Великий математик России Николай Иванович Лобачевский
  Доклады Математика и статистика

  Классическая геометрия Евклида перестала удовлетворять требованиям развивающихся точных и естественных дисциплин. Первым сформулировав начала неевклидовой геометрии, Лобачевский открыл полосу широкого развития науки, считавшейся до этого совершенно законченной. На основе его идей, геометрия стала огромным зданием, в котором Евклидово учение составляет лишь фундамент или основной камень фундамента. Труды Лобачевского сыграли определяющую роль во всех важнейших отраслях естествознания. Но значение гениальных открытий ученого не было ясно его современникам. «При жизни он не был понят...» Первоклассные, отечественные математики, пользовавшиеся ученой известностью за границей, не признавали заслуги Лобачевского. Так было вплоть до второй половины XIX века. В 50-е годы происходит заметное оживление культурной и научной жизни России. Идеи Лобачевского становятся подлинным достоянием русской и мировой науки. В настоящее время их непреходящее значение нашло окончательное научное подтверждение.

• 15. Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні
  Доклады Математика и статистика

  Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) (10.2), (10.4) (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5), сектором з центральним кутом (рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.

• 16. Волшебный мир Пуанкаре
  Доклады Математика и статистика

  Докажем, что расстояние, пройденное человечком на любом шаге, меньше двух. Ясно, что длина шага= 1/(n2)<1/(n(n-1))= 1/n-1 1/n (*) Тогда расстояние R = 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 по неравенству (*) 1/4+ 1/9+...+1/n2 < 1-1/2 + 1/2-1/3 +.... 1/(n-1) -1/n Нетрудно видеть, что все слагаемые кроме 1 и 1/n сократятся. Тогда получим : 1+ 1/4 + 1/9+...+1/n2 < 2 (1/n) Таким образом, никто из обитателей круга не сможет доказать, что их мир ограничен, и они верят, что справедлива аксиома Евклида: «Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная данной». Но в круге роль прямых для обитателей этого круга играют отрезки, соединяющие точки окружности. Но очевидно, что через любую точку вне отрезка можно провести сколько угодно отрезков, не пересекающих данный (см. рисунок).

• 17. Вторичные элементы (аккумуляторы)
  Доклады Математика и статистика

  Как и у всех гальванических элементов, ток аккумулятора тем больше, чем больше площадь его электродов. Эту истину хорошо усвоил Камилл Фор. Он был самоучкой - без специального образования - с юных лет безраздельно увлекался техникой. Вынужденный зарабатывать деньги на жизнь. Фор сменил множество специальностей. Был чертёжником, техником, рабочим, химиком на английском пороховом заводе, работал у Планте. Разносторонние практические знания сослужили ему добрую службу. После Парижской выставки 1878 года в голову Камилла Фора запала идея нового способа формовки пластин. Он попробовал заранее покрывать их свинцовым суриком. При зарядке сурик на одной из пластин превращался в перекись, а на другой соответственно раскалялся. При этом слой окисла приобретал пористое строение, а значит, и увеличивалась площадь взаимодействия с кислотой. Процесс формовки протекал значительно быстрее. Аккумуляторы Фора при том же весе запасали значительно больше электрической энергии, чем аккумуляторы Плантэ. Другими словами, их энергоёмкость была больше. Это обстоятельство особенно привлекало к ним симпатии электротехников. Но главная причина их возросшей популярности заключалась в другом… В конце столетия во многих странах на улицах и в домах появилось электрическое освещение. Лампы накаливания питались энергией пока еще маломощных машин постоянного тока. Ранним утром и поздним вечером, когда энергии требовалось значительно больше, на помощь машинам приходили аккумуляторы. Это было значительно дешевле, чем устанавливать дополнительные генераторы. Тем более что в спокойные дневные и ночные часы аккумуляторы могли заряжаться, поглощая излишки энергии вырабатываемой машинами.

• 18. Гальванический элемент
  Доклады Математика и статистика

  Рождение электротехники начинается с изготовления первых гальванических элементов - химических источников электрического тока. Связывают его с именем Александра Вольты. Однако рассказывают, что, раскапывая египетские древности, археологи обратили внимание на странные сосуды из обожённой глины с изъеденными металлическими пластинами в них. Что это?.. Многое в окаменевших остатках ушедших, канувших в Лету цивилизаций, до сих опор не понятно людям. Нелегко восстановить образ минувшего, тем более что часто он оказывается не таким уж примитивным, как думается. "А уж не банки ли это химических элементов?" - пришла кому-то в голову сумасшедшая мысль. Впрочем, так ли она безумна? Ведь получение постоянного электрического тока химическим путём действительно очень просто. Солёной воды на Земле хоть отбавляй, как и необходимых металлов - цинка и меди. Вместо меди лучше применять серебро и золото… Первые элементы имели один общий недостаток. Они давали ток лишь первые несколько минут, затем требовали отдыха. Почему это происходило, ни кто не понимал. Но с такими быстро утомляющимися элементами нечего было, и думать затевать какую-то промышленность. И поэтому все усилия исследователей сконцентрировались на проблеме утомляемости.

• 19. Геометрическая алгебра: машина времени
  Доклады Математика и статистика

  В первой половине IX века в Багдаде работал Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (Мухаммед сын Мусы из Хорезма из рода жрецов). Сохранились его сочинения по арифметики, алгебре, астрономии, географии и календарным расчетам. Наиболее значительным является трактат ал-Хорезми по алгебре, в котором он разработал правила преобразования уравнений. Уравнения, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях он строго геометрически обосновывает свои способы.

• 20. Геометрические построения на местности с помощью циркуля и короткой градуированной веревки
  Доклады Математика и статистика

  Геометрия зародилась в глубокой древности, она изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве, которое нас окружает. В Древней Греции слова математика и геометрия были синонимами. Любые математические задачи, будь то доказательство свойств чисел или нахождение корней уравнений, решались геометрическими способами. Естественно, в такой ситуации важную роль приобрели задачи на построение. К построениям предъявлялись высокие требования точности, простоты, экономности. Самой совершенной линией на плоскости является окружность, а самой простой прямая (ведь русское слово «простая» и означает «прямая», и «простить» значит «разрешить стоять прямо, не склонив головы»). Наиболее ценными считались построения, использующие только эти две линии. Поскольку прямую можно провести при помощи линейки (без делений), а окружность построить циркулем, то речь идет о задачах на построение с помощью циркуля и линейки. Циркуль позволяет не только построить окружность с указанным центром и радиусом, но отложить отрезок, равный данному, и выяснить, какой из имеющихся отрезков длиннее. С помощью линейки можно провести прямую через две данные точки. (Линейка с делениями, которой мы пользуемся, не годится для измерений длин отрезков, она дает приближенный результат этого античные математики не могли допустить.)

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• Далее