Доклад по предмету Математика и статистика

• 21. Градиентные методы
  Доклады Математика и статистика

  f(x) » j(x) f(xn) + (f¢(xn), x - xn)(функция j аппроксимирует f в окрестности точки xn с точностью o(x - xn). Разумеется, (линейная) безусловная задача j(x) ® min неразрешима, если f¢(xn) ¹ Q. В окрестности же B(xn, e) функция j имеет точку минимума. Эту точку естественно взять за следующее приближение xn+1.

• 22. Градиентный метод с дроблением шага и метод наискорейшего спуска
  Доклады Математика и статистика

  Можно показать, что в условиях теоремы (о линейной сходимости градиентного метода с постоянным щагом) градиентный метод с дроблением шага линейно сходится. Описанный алгоритм избавляет нас от проблемы выбора a на каждом шаге, заменяя ее на проблему выбора параметров e, d и a0, к которым градиентный метод менее чувствителен. При этом, разумеется, объем вычислений возрастает (в связи с необходимостью процедуры дробления шага), впрочем, не очень сильно, поскольку в большинстве задач основные вычислительные затраты ложатся на вычисление градиента.

• 23. Григорианский календарь
  Доклады Математика и статистика

  В принципе, григорианский календарь является только слегка изменённой версией юлианского календаря. Решения же комиссии, созванной Григорием, свелись к тому, чтобы исключить оставшиеся 10 дней из 1582 года в порядке восстановления даты весеннего равноденствия (21 марта), но через несколько веков эта дата всё же регрессировала к 11 марта. Для того, чтобы обуздать смещение даты весеннего равноденствия, план, разработанный этой комиссией, предусматривал ликвидацию 3 дней в конце каждого столетия. Например, в 1700 году, 1800 или 1900гг. Также поступили и с високосным годом, который существовал до этого в юлианской системе. Эти поправки, обнародованные в папской булле от 24 февраля 1582 года, вызвали огромное количество споров и дебатов как между учёными, так и между простыми людьми. Образно говоря, весь их спор сводился к вопросу: а будут ли птицы знать, когда им лететь на юг, чтобы пережить зиму? Но всё это были споры, так сказать междоусобные, особо не афишировавшиеся. Лишь только «Всеобщая астрономическая библиография», изданная в 1887 году J.C.Houzeau и A.B.Lancaster, впервые высказала идею о чрезмерно большом количестве трактатов, написанных «за» и «против» реформы. Но план этой реформы, предложенной Григорием ХIII, был разработан отнюдь не им и даже не членами его комиссии, а простым университетским преподавателем, который, к несчастью, так и не узнал, что именно по его календарю будет жить весь мир. Его звали Луиджи Лилио (его фамилию также пишут как Джилио). Прежде чем календарь стал всемирно известным как григорианский, его также называли лилианским календарём. Именно Лилиус (латинский вариант его фамилии) предложил убрать 10 дней из того года, в котором будет принят календарь, или же сделать это только через 40 лет, начиная с 1584 года. 29-е же февраля будет добавлено в каждый четвёртый год в этом интервале. Лилиус работал над деталями реформы в течение 10 лет. Все его усилия были направлены на то, чтобы сделать календарь как можно более точным и удобным в использовании. Дальнейшие усовершенствования системы работали на улучшение приблизительной длинны тропического года. В день его смерти в 1576 году состоялась презентация самого главного труда всей его жизни. (Оригинальное его название «Новый план возвращения календаря».) Он был представлен его братом Антонио Лилио самому Григорию ХIII. Работа Лилиуса была восхвалена за свою точность и простоту, а её основа взята за образец для создания будущего календаря.

• 24. Двойной интеграл
  Доклады Математика и статистика

  где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

• 25. Детерминистический хаос
  Доклады Математика и статистика

  Однако система горного потока иная, и открытие детерминистического хаоса хорошая иллюстрация того, каким образом работают подобные системы. По современным стандартам, первые электронные вычислительные машины были очень медленными и имели очень маленькую память. В 1960-е годы Эдвард Лоренц (Edward Lorenz, р. 1917) и его коллеги в Массачусетском технологическом институте испытывали компьютерные модели климата Земли. Их компьютеры часто приходили к некоторому промежуточному состоянию в вычислениях, выводили эти промежуточные результаты на бумажную ленту в течение всей ночи и заканчивали вычисления на следующий день. Они стали замечать, что вычисления, выполнявшиеся непрерывно от начала до конца, приводили к результатам, которые значительно отличались от результатов прерывавшихся вычислений. Они обнаружили, что это расхождение происходит из-за того, что компьютер округлял числа в промежуточных результатах. Например, для записи на ленту он выдал бы число 0,506, а если бы продолжал работать, то 0,506127. Это различие было достаточным для того, чтобы привести в итоге к совершенно различным прогнозам будущих состояний климата. Теперь мы знаем о существовании систем, которые гораздо чувствительнее к начальным условиям и в которых различие в восьмом знаке после запятой оказывает значительное влияние на конечный результат. (В технических терминах хаотическая система определяется как система, в которой выход экспоненциально зависит от изменений на входе.)

• 26. Дискретно-темпоральная модель вселенной
  Доклады Математика и статистика

  Физические концепции окружающего материального мира весьма условно можно разделить на два класса: эмпирико-феноменолоические и теоретико-математические. Первые не всегда позволяют распространить их на достаточно широкий круг явлений, а вторые чаще всего перегружены чрезмерно усложненными математизированными рассуждениями. Настоящее сообщение, по своей филосовско-гносеологической форме, относится к некоторому промежуточному классу с относительно строгой аксиоматикой не противоречащей логико-интуитивному восприятию реальной Природы. При этом следует учитывать, что на современном этапе непредвзятое познание объективных закономерностей развития материальной Вселенной существенно осложняется беспрецедентной пропагандистской экспансией самых различных идеалистических религиозно-мистических учений и “метафизических исследований” весьма далеких от истиной науки. Между тем познание объективной реальности окружающего мира и понятийная ясность физических понятий была жизненным кредо целой плеяды выдающихся корифеев диалектико-материалистического естествознания ХХ века от Макса Планка до Ричарда Фейнмана.

• 27. Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
  Доклады Математика и статистика

  Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C. 3. Квадрат числа Am равен разности квадратов нескольких пар чисел. 4. Все числа A> 2 являются пифагоровыми.

• 28. Другие планетные системы
  Доклады Математика и статистика

  В настоящее время экзопланеты, то есть планеты вне Солнечной системы, открыты у некоторых ближайших к Солнцу звёзд. По одному из источников, примерно к 1997 г. были открыты планеты у 8 звёзд, но все эти планеты либо больше Юпитера, либо ближе Меркурия к звезде, либо имеют крайне вытянутые орбиты, а нам хотелось бы найти что-то похожее на Землю ["Нормальна" ли Солнечная система? 1997]. Впрочем, мы нашли планеты всех тех параметров, которые могли найти. Планету же с земными параметрами пока просто нельзя уловить (мала и далека от звезды, а потому мало влияет на неё). По заметке 1987-го года [Планеты наконец открыты?], из 16 близких к нам изученных звёзд планеты есть у 10. В заметке 1999-го года [В поисках планет, подобных Земле] говорится, что открыто 12 - 15 таких планет массой с Юпитер, а в статье В.Г.Сурдина [1999б] упоминается об открытии около 20 планетных систем, в следующей - 29 [Сурдин, 2000а]. В заметке 2000 г. добавлены ещё 19 систем, а число открытых планет достигло 49 [Вибе, 2000]. Одна из недавно открытых планет по массе меньше Сатурна. Найдена также планета с рекордно долгим "годом" - 7 земных лет. Кроме того, теперь известны две многопланетные системы у обычных звёзд. Ясно, что число известных планетных систем будет стремительно расти с каждым годом и что при совершенствовании методов поиска будут открываться всё более "землепоподобные" тела. Рассмотрим некоторые примеры подобных открытий недавнего прошлого.

• 29. Дыра из дыр
  Доклады Математика и статистика

  Не видно и черных дыр, таков закон они ведь ничего не испускают. И только гравитационное поле могло бы отметить их присутствие. Естественно, ни одной черной дыры на настоящий момент не найдено. Есть только объекты, которые при ряде допущений могут быть признаны похожими на черные дыры это кандидаты на почетное звание «всепоглотителя». При этом современная физика ничего не знает о реальных свойствах пространства при таких плотностях вещества и при такой силе гравитационного поля, какие должны наблюдаться в условиях гипотетической черной дыры. И сам вопрос применимости эйнштейновской теории гравитации к таким «экстремальным» условиям остается открытым. А черная дыра, как теоретический объект, существует только в рамках Теории Относительности. Так что черные дыры есть только на бумаге, например в виде разнообразных рисунков воронок в популярных книжках, посвященных жизни звезд (космических). Астрономия популяризируется, и ни одна книга про звезды не обходится без рисунка воронки.

• 30. Евклид
  Доклады Математика и статистика

  Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII-IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. Книги X-XIII посвящены стереометрии и теории иррациональности. Личный вклад Евклида в Начала, по-видимому, состоял главным образом в систематизации и логическом упорядочении разрозненных результатов его предшественников и современников, а его целью было дать такое связное убедительное изложение элементарной геометрии, чтобы каждое утверждение всего большого сочинения можно было свести к постулатам.

• 31. Евклид и Лобачевский
  Доклады Математика и статистика

  Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид ответил: В геометрии нет особых дорог даже для царей". В другом анекдоте говорится, чтр один из учеников Евклида, изучая геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал невольника и распорядился. „Дай ему обола, ибо этот человек ожидает прибыли от науки". Математик Папп (320 г. н. э.) восторгается необыкновенной честностью, скромностью, кротостью и одновременно независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма плодовитым автором различных трудов. Известно, что его перу принадлежит не менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются крупнейшим произведением в истории математики. Это первый, сохранившийся математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедуктивный метод. ..Начала" носят характер учебника, в котором Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников. Таким образом, Евклида трудно считать самостоятельным автором содержания „Начал", за небольшими исключениями, касающимися конусных сечений и сферической геометрии. Но в „Началах" Евклид проявил себя великолепным систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю математики. ..Начала" были написаны около 300 года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся рукописи на греческом языке восходят всего лишь к Х ве нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей эры хранилось только несколько отрывков папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнили внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной достоверностью восстановить первоначальный текст замечательного труда Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая, вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на плоскости, в одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой приведены основы стереометрии, остальные книги ..Начал" посвящены теории пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных теорем без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные постулатами и ввел необходимое число определений. Опираясь на этой сиСтеме аксиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 теорем распределенных в цепочку, очередные звенья которой логически вытекают из предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая ,,Аксиома параллельности" на целые века заняла умы многих математиков. Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток приняли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название неевклидовой геометрии.

• 32. Евклид: жизнь и сочинения
  Доклады Математика и статистика

  Ещё пифагорейцы знали, что если высоты звука относятся как небольшие целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным. Так, отношение высот 1:2 даёт музыкальный интервал, называемый октавой, отношение 2:3 даёт квинту, 3:4 кварту. Для того чтобы повысить на квинту звук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить её длину на 1/3, заставив звучать оставшиеся 2/3 струны, при этом частота колебаний струны увеличится в 1/(2/3) раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь звук из 3/4 струны, т.е. частота колебаний будет в 4/3 раза выше частоты колебаний основного тона. Исходя из этого, можно построить музыкальную шкалу.

• 33. Единство числовых значений в системе размерностей LT
  Доклады Математика и статистика

  При таком понимании, что масса является проявлением внутреннего электрического тока, проясняется природа ядерных сил и сил гравитации, а также проявляется родство этих двух сил с электромагнитными силами. По сути, ядерные силы это силы взаимодействия протяженных токовых элементов (силы Ампера, которые не совсем правильно относят к проявлению токового взаимодействия). А вот силы гравитационные и являются силами чисто токовых взаимодействий, то есть взаимодействий без учета длины и времени. При участии длины (пространственной протяженности) токовое взаимодействие становится электромагнитным или сильным (амперовским). При участии времени токовое взаимодействие становится электростатическим (кулоновским). Тут можно выразиться и по иному: на уровне взаимодействий тех и других, чисто токовое взаимодействие тоже обязательно присутствует, но проявляет себя как существенно более слабое гравитационное. В работе [3] известное слабое взаимодействие, предположительно, отнесено к проявлению релятивистского эффекта в гравитационном взаимодействии.

• 34. Жозеф Луи Лагранж
  Доклады Математика и статистика

  Лагранж внес существенный вклад во многие области математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей. В двух своих важных трудах Теория аналитических функций (Theorie des fonctions analytiques, 1797) и О решении численных уравнений (De la requations numeriques, 1798) подытожил все, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы были развиты в работах математиков 19 в.

• 35. Задание физического формата вселенной
  Доклады Математика и статистика

  Использование для описания вселенной формата заданного посредством прямой (луча) состоящей из бесконечного количества точек, приводит к невозможности сопоставления стремящихся к бесконечности величин, в силу чего качественно уступает использованию формата заданного посредством прямой (луча) состоящей из бесконечного количества отрезков, каждый из которых состоит из бесконечного количества точек.

• 36. Задача Дирихле
  Доклады Математика и статистика

  1. На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу: yi=y0 ? ih, xj=x0 ? ih , i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D. Получается множество точек (xi,yj).

• 37. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции
  Доклады Математика и статистика

  Картина высоты 1,5 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,2 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т.е. чтобы угол зрения был наибольшим)?

• 38. Закон всемирного тяготения
  Доклады Математика и статистика

  И замечание не совсем по теме. Достаточно распространено мнение, что занятия тяжелой атлетикой замедляют рост спортсменов, поэтому, мол, среди тяжелоатлетов так много низкорослых. На самом деле низкорослость штангистов действительно наблюдается, но только в ограниченных весовых категориях, особенно среди легковесов. В одной книжке по атлетизму приводится даже пояснение, что низкорослые побеждают чаще оттого, что им приходится поднимать штангу на меньшую высоту. На мой взгляд, такой довод совершенно неубедителен. Я же предлагаю следующее объяснение. Каждый тип ткани (мышцы, кости, кожа, жировая прослойка и т.д.), из которых состоит тело, составляет определенный процент от его общего веса. И если предположить, что эти пропорции одинаковы для двух человек разного роста, то более низкий человек, естественно, будет весить меньше. Однако если он за счет мышц наберет такую же массу тела, что и высокий, то это будет означать, что абсолютная мышечная масса у него больше (поскольку немышечной ткани у него просто меньше по определению). А больше мышечная масса - больше сечения мышц, и, следовательно, в этих условиях при равной массе тела низкий тяжелоатлет действительно сильнее высокого, поэтому последние просто отсеиваются.

• 39. Закон отражения света
  Доклады Математика и статистика

  Представьте, что вы направили тонкий луч света на отражающую поверхность, например, посветили лазерной указкой на зеркало или полированную металлическую поверхность. Луч отразится от такой поверхности и будет распространяться дальше в определенном направлении. Угол между перпендикуляром к поверхности (нормалью) и исходным лучом называется углом падения, а угол между нормалью и отраженным лучом углом отражения. Закон отражения гласит, что угол падения равен углу отражения. Это полностью соответствует тому, что нам подсказывает интуиция. Луч, падающий почти параллельно поверхности, лишь слегка коснется ее и, отразившись под тупым углом, продолжит свой путь по низкой траектории, расположенной близко к поверхности. Луч, падающий почти отвесно, с другой стороны, отразится под острым углом, и направление отраженного луча будет близким к направлению падающего луча, как того и требует закон.

• 40. Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
  Доклады Математика и статистика

• Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• Далее