Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств

Вид материалаПрограмма

Содержание


Цель курса
Рецензия на программу элективного курса для 11 класса
УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА (34 часа)
Содержание учебного материала
Содержание курса
2. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль.
3. Уравнения и неравенства с параметрами.
ТЕМА: Решение неравенств, содержащих модуль
Подобный материал:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ


ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА


для учащихся 11 классов


РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ


Программу составила

учитель математики

1 квалификационной

категории

МОУ «Лицей №14»

г. Нижнекамска

Зайкова Татьяна

Емельяновна


г. Набережные Челны

2009


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний, умений, необходимых в жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Элективный курс « Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов общеобразовательной школы, изучающих математику на базовом уровне, и предполагает совершенствование подготовки школьников к ЕГЭ на повышенном уровне, а также предусматривает овладение различными приемами, способами решения задач, уравнений, систем, неравенств. Наибольшую сложность представляют задания с модулем, с параметром, иррациональные неравенства и умение их решать во многом предопределяют успешную сдачу экзаменов, решение олимпиадных заданий.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, практические работы, работа в группах. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу, исследовательскую работу. Формой контроля являются тематические зачеты, рефераты, защита своей работы.


^ Цель курса: систематизация знаний, повышение уровня

математической подготовки.


Задачи: - способствовать овладению алгоритмов решения уравнений

и неравенств;

- подготовить к ЕГЭ;

- углубить знания по теме;

- формировать навыки работы в малых группах,

навыки самостоятельной работы


^ Рецензия на программу элективного курса для 11 класса

« Решение уравнений и неравенств»

учителя МОУ « Лицей № 14» г. Нижнекамска

Зайковой Татьяны Емельяновны


Ведение элективного курса «Решение уравнений и неравенств» необходимо учащимся при подготовке к ЕГЭ, так как успешное владение приемами решений во многом предопределяет успешную сдачу экзаменов, сформирует устойчивый интерес к предмету.

Систематизация знаний, их углубление по основным разделам решения уравнений и неравенств: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных, логарифмических , научат решать задания разной сложности и выявят у учащихся математические способности и помогут их развивать.

Так как в школьном курсе не предусматривается подробное изучение, обобщение и систематизация знаний о модуле, о параметре, о решении уравнений и неравенств с модулем, с параметром, графическое решение уравнений и неравенств , содержащих модуль, то введение этого материала позволит более качественно подготовиться к экзаменам, повысить уровень математического мышления, математической культуры у школьников.


Учитель математики высшей категории

МОУ средней школы №9 с углубленным

изучением отдельных предметов

г. Елабуги

Бочкарева Гелсиня Ибрагимовна


^ УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА (34 часа)


№

^ Содержание учебного материала
Количество часов

всего
тео

рия
прак

тика

1
Основные понятия, определения и свойства, связанные с уравнениями и неравенствами. Линейные уравнения и неравенства с донной переменной.
2
0,5
1,5

2
Решение систем уравнений и неравенств с двумя переменными
2
0,5
1,5

3
Решение квадратных уравнений и неравенств и сводящихся к ним
2
0,5
1,5

4
Тригонометрические уравнения и неравенства
2
0,5
1,5

5
Показательные уравнения и неравенства
2
0,5
1,5

6
Логарифмические уравнения и неравенства
2
0,5
1,5

7
Иррациональные уравнения и неравенства
2
0,5
1,5

8
Зачетная работа №1
1



1

9
Решение уравнений, содержащих модуль

2
0,5
1,5

10
Решение неравенств, содержащих модуль
2
0,5
1,5

11
Графическое решение уравнений с модулем
2
0,5
1,5

12
Зачетная работа №2
1



1

13
Уравнения и неравенства с параметрами
6
1
5

14
Решение уравнений смешанного типа
4
-
4

15
Зачетная работа №3
1



1

16
Итоговое занятие.
1



1







34








^ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

1.Решение уравнений и неравенств различного типа.

Систематизация различных типов уравнений и неравенств, различных методов решения. Алгоритм решения уравнений и неравенств.

- Линейные уравнения и неравенства.. Уравнения и неравенств, сводящиеся к линейным.

- Квадратные уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства, приводимые к квадратным.

- Решение систем уравнений, неравенств.

- Логарифмические и показательные уравнения и неравенства

- Тригонометрические уравнения и неравенства.

- Иррациональные уравнения и неравенства.

Теоретическая часть предполагает лекции с элементами проблемного изложения. На практических занятиях проводится самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости от уровня обучаемости учащихся. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся.

^ 2. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Теоретическая часть включает в себя повторение понятия модуля, его геометрической интерпретации, изучение основных методов решения уравнений, содержащих модуль: по определению, метода интервалов, метода замены переменных., начиная с простых, и

заканчивая более сложными примерами. Во время практических коллективных занятий над примерами разной сложности содержащих модуль, у учащихся формируется достаточно полное представление о модуле и его свойствах.

.При графическом решении неравенств с модулем сначала необходимо повторить построение элементарных графиков, затем рассмотреть влияние модуля на расположение графиков в координатной плоскости. При построении графиков, содержащих модуль, воспитывается эстетическая культура, аккуратность. В завершении темы – графическая практическая работа и зачетная работа.


^ 3. Уравнения и неравенства с параметрами.

Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из них должно быть получено решение. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно.

При изучении вводится понятие параметра, алгоритмы решений заданий с параметром, свойства, рассматривается решение линейных уравнений и неравенств с параметрами, дробно – рациональных, квадратных и систем.


Литература

1. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства –

М, Просвещение,1989

2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства – М, Наука,1987

3. Виленкин Н.Я., Ивашов – Мусатов О.С., Шварцбурд Алгебра и математический анализ 10 класс, 11 класс

4. Голубев В.И. Эффективные методы решения задач по теме

« Абсолютная величина»- М, Чистые пруды,2006

5. Ильина С.Д. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля. – Математика в школе,2001 №8

6. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа – М, Просвещение,1990

7. Контрольно - измерительные материалы 2002 – 2008

8. Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике –

М, Просвещение,1991

9. Фирсова н.и. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств – Математика в школе ,2002 №1

10. Чирский В.Г., Шавгулидзе Е.Т. Уравнения элементарной математики. Методы решения – М.Наука,1992

12. Шабунин М. Уравнения - М, Чистые пруды,2005

9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике 10, 11 классы

13. Ястребинецкий Г.Я. Задачи с параметрами - М, Просвещение,1986


Приложение

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль

Занятия 16 – 17


ТЕМА: Решение уравнений, содержащих модуль.

1.Определение модуля.

2.Правила раскрытия модуля: 1) х = х, если х > 0,

-х, если х < 0;


2) │ f (x)│ = a ↔ f (x) = a, если а > 0 и

f (х) = - а, если а < 0.

3)│ f(х) │= g (х) ↔ f (х) = g (х), если g (х)>0 и

f (х) = - g (х), если g (х)<0.

3. Геометрическая интерпретация, нахождение значений выражений, содержащих модуль.

4. Уравнения, содержащие модуль. Способы их решения.

На практике решаются так:

1) находят критические точки, т.е. те значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля обращается в нуль;

2) разбивают область допустимых значений на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3) На каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Совокупность (объединение ) решений, указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

5. Решение уравнений: 1) │ х+3│ = 2х – 1 Ответ: 4

2) │х + 2│ + │х + 3│ = х Ответ: корней нет

3) │х + 5│ - │ х - 3 │ = 8 Ответ: [3; ∞)

4) │ 2х – 3│ = х Ответ: 1,3.

5) │ 3х + 1│ + х = 9 Ответ: -5; 2

6) │ 5 – 2х │ + │ х + 3│= 2 – 3х Ответ:(-∞; -3 ]

7) │ х2 + х │ + 3х – 5 = 0 Ответ:-5; 1

8) │х – 6│ = │ х2 - 5х + 9│ Ответ: 1;3

9) 5 = х + 2 Ответ:3;-3; -2+√5

3 - │ х - 1│


10) 3│ х2 + 2х – 1│ = 5х + 11 Ответ: -1; 2

11)* √ 49 + 9х* │х +4│ - 2х = 7 Ответ: 0;-1,8

Дом.задание 12) х2 - │х│ -2 = 0

13) │х2 -9│ + │х - 2│ = 5

14) │х2 -4х + 3 │ + │х2 -4х -5│ = 8

15) 3│х2 + 2х - 1│ = 5х + 11


^ ТЕМА: Решение неравенств, содержащих модуль

Занятия 18-19


1.Определение неравенства с модулем.

2.Правила раскрытия модуля при решении неравенств:

1)│f(х)│- g (х)

или - g (х)

2)│f(х)│> g (х) ,то f (х)> g (х) или f (х)<- g (х)

3) │f (х)│>│g (х)│, то f2 (х) > g2 (х) или

(f (х) - g (х)) * (f (х)+ g (х)) > 0 .

3. Неравенства, содержащие модуль. Способы их решения: методом интервалов, по свойствам 1 и 2)

4. Решить неравенства: ( методом интервалов 3,4,5,7,8,10;

по свойствам 6,9,10,14,15)

1) │х│< 3 Ответ: (-3;3) 2) │х │> 2 Ответ: (-∞; -2) U (2;

3) │х + 4│» 1 Ответ: (-∞; -3) U (3; ∞)

4) │ x – 3│ < 1 Ответ: (2; 4)

5) │2x – 1│-│x – 2 │» 4 Ответ: (-∞; -5]U[3; ∞)

6) │2x2 – 9x + 15│» 2 Ответ: х – любое

7)Найти наибольшее решение неравенства

x2 - │5x + 6│ > 0 Ответ: 7-наиб.целое число

8) Найти наименьшее решение неравенства

│x│ + │ x + 3 │ < 5 Ответ: наим. цел. числа нет

9) │х2 - 2х│< х Ответ: (1; 3)

10)Найти сумму целых решений неравенства

8 - │5х - 14│» 0 Ответ: 9

10) Укажите наибольшее целое отрицательное число их области определения функции у =√ │3х + 7│ - 25 Ответ: - 11

11) Укажите наименьшее целое число из области определения функции

у = √10 - │7 – 6х│ Ответ: 0

12) ЕГЭ В2 Найдите сумму целых решений неравенства │2 – х/2 │ <0

Ответ:-16

13) ЕГЭ В6 Найти сумму квадратов всех целых чисел являющихся решением неравенства │х2+ 2х - 3│« 8 = 2х – х2 Ответ: 16

14) ЕГЭ С1 Решить неравенство │х5 - 6х2 + 9х - 6│» х5 - 2х3 + 6х2 - 13х +6

Ответ: х » 3

15) ЕГЭ С3 Решить неравенство ││х2 – 8х + 2│ - х2│» 2х + 2

Ответ: (- ∞; 0]U[1;2]U[5; ∞)


Дом.задание :16) │ 3х2 + 2│« х2 + 7х + 6

17) │3х + 7│ - 25»0

18)Найти сумму целых чисел из области определения функции у = √8 - │5х - 14

ТЕМА Графическое решение уравнений с модулями

Занятие 20 – 21

Основная цель темы: познакомить учащихся с основными приемами построения графиков функций, содержащих модули, а затем перенести их на графическое решение уравнений и неравенств.

Чтобы научиться строить графики с модулями, надо очень хорошо знать и понимать определение модуля. Когда в стандартные уравнения, которыми задаются прямые, параболы, гиперболы включается знак модуля, то их графики становятся необычными, даже красивыми.


1) Рассмотрим график функции у = │х│

Если х > 0, то график у = х совпадает с биссектрисой 1 координатного угла.

Если х< 0, то график у = - х совпадает с биссектрисой 2 координатного угла.


2) Рассмотрим функцию у =│х│ + а.

График получается из графика у = │х│ сдвигом вверх на а единиц, если а> 0 и сдвигом вниз на а единиц, если а< 0.


3) Рассмотрим график функции у = │х -а│.

График получается из графика у =│х│ сдвигом влево, если а< 0 и сдвигом вправо, если а > 0.


4) Рассмотрим функцию у = │f(х)│.

Получаем из графика у = f (х), причем точки, лежащие выше оси х остаются без изменения, а участки графика, лежащие ниже оси абсцисс , нужно отразить относительно оси х.


Задания. 1. Построить графики: 1) у = │х│

2) у =│ х│ +3

3) у = │ х │– 2

4) у = │2 х – 1│

5) у =│ х + 1│ +│ х - 1│

6) у = │х│ + │х + 1│ +│ х + 2│

7) у =│ х2 - 4 │

8) у = х2 - 2│х│

9) у =││х│ - 2│

2. Решить уравнения и неравенства графически:

10) │2х – 1│ = 3 13) ││х│-2│«1

11) │х + 1│ +│ х – 1│ = 6

12) х2 - 2│х│ = 3 14) х-1 «│х2 - 5х + 4 │


Дом.задание: 15) у =│х2 - х - 2│
  1. │х- 4│+│ х - 3│= 2
  2. ││х - 1│ + 2│= 1 ( аналитически и графически)
  3. │х - 1│- │х - 3│ - 2 = -√2

.

Зачетная работа № 2

Вариант 1 Вариант 2

Решить уравнения Решить уравнения

1) │ 2х – 3│ = 3 х 1) │2х + 1│ = 2х

2) │х2 + х│ + 3х – 5 = 0 2) │х2 - 1│ + х = 5

3) │7х - 12│ - │7х - 11│ = 1 3) │5х - 13│ - │6 – 5х│= 7


Решить неравенства Решить неравенства

4) │х – 5 │» - 2 4) │5 + 2х│ « 10

5) │х2 - х - 3│ < 9 5) │х2 – х – 2│< 5х - 3


Решить графически Решить графически

6) │ 2х – 4│ = х2 -3х +2 6) │х2 -5х +6│ = 3