Ахмадуллина Альфия Дамировна пояснительная записка

Вид материала

Содержание

Список тем рефератов
Ход занятия
Объяснение нового материала.
I. Актуализация знаний.
IV. Задания для дополнительной работы.
Ответ: при любых а, кроме а = 2.Занятие 3
Ход занятия
II. Применение знаний в нестандартной ситуации.
IV. Задание для дополнительной работы.
Ответ: а Є (- ∞; - 5]U (0; +∞)Занятие 4
IV Задание для дополнительной работы.
Ход занятия
II Объяснение нового материала.
Ответ: если а ≠ 1, то х = 1, у = 0; если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R III Формирование навыков и умений
II. Объяснение темы.
Ответ: если
Ход занятия
Ответ: при а = 2 система не имеет решений; а при а = -2 система имеет бесконечно много решений. III Работа в группах
V Задания для дополнительной работы
Цель урока
...
Полное содержание

Подобный материал:

1 2 3 4

Список тем рефератов

Линейные уравнения с параметрами.
Решение квадратных и дробно – рациональных уравнений, содержащих параметры.
Различные способы решений задач с параметрами.

Занятие 1

Тема: «Линейные уравнения с параметрами»

Цель: объяснить, что такое параметр и что означает решить уравнении с параметрами; рассмотреть различные решения линейных уравнений с параметрами; научить детей понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть; приучить к внимательности и аккуратности.

^ Ход занятия

Введение.

Прежде, чем перейти к решению задач рассмотрим, что такое параметр и что означает решить уравнение с параметром.

Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Уравнение называется параметрическим.

Примеры: ах = 3; 2х – 5p = 8;

(2а + 3)х² – ах + 1 = 0

Здесь х – неизвестное, а и p – параметры.

Решить уравнение, содержащее параметр – это значить, для каждого значения параметра найти множество всех корней (решений) данного уравнения.

^ Объяснение нового материала.

Рассмотрим уравнения, после преобразований которые приводятся к линейным уравнениям вида ах = в, где а и в - параметры. При решений таких уравнений необходимо рассмотреть два случая: 1) а = 0; 2) а ≠ 0

Пример 1. Решить уравнение ах = 8.

Решение: если ) а ≠ 0, то х = 8

а; если а = 0, то уравнение имеет вид 0 ^. х = 8

Это уравнение решений не имеет.

Ответ. Если а ≠ 0, то то х = 8 ; если а = 0, то решений нет.

а

Пример 2. Решите уравнение (m – 2)х = 4m

Решение: если m – 2 = 0, то m = 2, то уравнение примет вид 0х = 8, решение не имее

если m ≠ 2, то х = 4 m

m – 2

Ответ: если m ≠ 2, то х = 4 m

m – 2; если m = 2, то решений нет.

Пример 3: Решить уравнение ах² – а² – х + а + 2 = 0

Решение: оставим в левой части уравнения выражения с переменной, а константы перенесем в правую часть: ах² – х = а² – а – 2

(а² – 1)х = (а – 2)(а + 1)

(а – 1)(а + 1)х = (а – 2)(а + 1)

Нужно рассмотреть три случая:

1) а = 1; 2) а = -1; 3) а = ± 1; если а = 1, то 0х = -2, решений не имеет;

если а = -1, то 0х = 0 – решением будет любое действительное число.

если а ≠ ± 1, то х = а – 2 ; Ответ: если а ≠ ± 1, то х = а – 2

а – 1 а – 1;

если а = -1, то х – любое; если а = 1, то решений нет.

Замечание: Поскольку решение задач с параметром часто требует рассмотрения различных случаев, то при записи ответа важно собрать результаты, полученные в отдельных частях решения. Это удобно сделать с помощью координатной прямой.

R P

х = а - 2 х = а – 2 х = а – 2

а –1 а – 1 а – 1

_{-1 1}

Закрепление темы.

Решите уравнения:

(а + 1)х = а – 1
ах = а² + 2а
(а² + а)х = а² – 4а
(а –3)х = 3 – а

Итог : 1) Что такое параметр?

2) Что означает решить уравнение с параметром?

V. Задания для дополнительной работы

Решите уравнения:

1. (а – 2)х = 5 – а; если 1) а ≠ 2, то х = 5 – а; 2) а = 2, то решений нет

а – 2

2. 2ах = а³ – а; если 1) а ≠ 0, то х = а² – 1 2) а = 0, то х - любое

2 ^;

3. (а² – а)х = а² + а; если 1) а ≠ 0, а ≠ 1, то х = а +1_; 2) а = 0, то х - любое

а – 1

3) а = 1, то решений нет.

4. m²х - 3 = 9х + m; если 1) m ≠ ±3, х = 1 _; 2) m = -3, то х – любое,

m- 3

m = 3, нет решений.

Занятие 2.

Тема: “Линейные уравнения с параметрами”

Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами, понимать цели выполняемых действий; научить правильно записать ответы, не упустить ни одной из частей его, полученных в ходе решения; развивать логическое мышление, тренировать внимание и память.

Ход занятия

^ I. Актуализация знаний.

Что такое параметр? Привести примеры параметрических уравнений;
Что означает решить уравнение с параметром?
Какие параметрические уравнения мы научились решать?
К какому виду надо их привести?

II.Закрепление темы.

Решите уравнение (у доски и в тетрадях) (а + 6)(а – 5)х = а² – 36

Ответ: если ) а ≠ -6, ) а ≠ 5, то х = а – 6

а – 5

если а = - 6, то х – любое; если а = 5, то решений нет.

2 . mх + 2х + 3 = 1 – х

Ответ: ) m ≠ - 3, то х = - 2 ; m = -3, то решений нет

m + 3

3. m²х = m(х + 2) - 2

Ответ: ) m ≠ 0,, ) m ≠ 1, то х = 2

m; m = 1, то х – любое; m = 0, то решений нет

Рассмотрим пример 4.

Определить количество корней в зависимости от значений параметра m:

m²х + 4m + 4 = 4х + 3m²

Решение: Преобразуем уравнение:

m²х - 4х = 3m² – 4m – 4; (m² – 4)х = 3m² - 4m – 4

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения:

(m - 2)(m + 2)x = 3(m + 2)(m – 2)

3

Рассмотрим 3 случая: 1) m = 2; 2) m = -2; 3) m ≠ ±2

если m = 2, то 0х = 0, то х – любое число;

если m = -2, то 0х = 16, то решений нет;

если m ≠ ±2, то х = 3m + 2

m+ 2

Ответ: при m ≠ ±2, то х = 3m + 2 при m = 2, то х – любое число;

m+ 2 ^;

при m = - 2, то решений нет.

Упражнения для самостоятельной работы (ученики сначала решают в тетрадях, потом работа проверяется у доски)

а) при каком значении параметра в уравнение вх = в + х + 1 не имеет корней?

б) найдите все значения параметра а, при которых уравнение

а(а + 2)х = 1 – х не имеет решений;

Ответ: а) в = 1; б) а = -1

Решается у доски и в тетрадях.

Найдите все значения р, при каждом из которых решение уравнения

а) 6 – 3р + 4рх = 4р + 12х меньше 1

б) 5х – 18р = 21 – 5рх – р больше 3

в) 15х – 7р = 2 + 6р – 3рх меньше 2

Ответы: а) р Є (-2; 3); б) р Є (- ∞; -3) U (-1; + ∞) в) р Є (-5; 4)

III . Итог. Как узнать, сколько случаев надо рассмотреть?

^ IV. Задания для дополнительной работы.

Решать уравнение: ах² – а² – х = 3а + 2

Ответ: при а ≠ ±1, то х = а + 2, при а = -1, то х – любое число;

а – 1

при а = 1, то решений нет.

При каких значениях параметра а уравнение (а – 2)х = а +4 имеет корень,

не равный 3?^ Ответ: при любых а, кроме а = 2.

Занятие 3

Тема: «Линейные уравнения с параметрами»

Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами; найти новые подходы к решению задач; научить учащихся анализировать, сравнивать, обобщать; подготовиться к экзамену.

^ Ход занятия

Актуализация знаний.

«Брейн–ринг». Учитель показывает уравнения, а учащиеся устно отвечают.

Решить уравнения (устно):

а) х² – 4 = 0 в) х² + 10х + 25 = 0 д) х² – 3х + 2 = 0

б) 2х – х² = 0 г) (х – 5)(х + 1) = 0

Решить неравенства:

х² – 4 > 0; (х – 3)(х – 4) < 0 ; (х – 5)(х +1) > 0

^ II. Применение знаний в нестандартной ситуации.

Рассмотрим пример 5.

При каких целых значениях параметра а корень уравнения (а – 5)х + а = 3 лежит в промежутке [0; 5].

Решение: при а ≠ 5 уравнение имеет корень х = 3 – а

а – 5

Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5]. Для этого решим двойное неравенство 0 ≤ 3 – а ≤ 5

а – 5

3 – а ≥0 3 ≤ а < 5

0 ≤ 3 – а ≤ 5 а – 5 а ≤ 4 2 а Є 3; 4 2

а – 5 3 – а ≤ 5 3 3

а - 5 а > 5

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ: а = 3, а = 4

Пример 6. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ах – 3 = 4х + а не меньше корня уравнения 5х – а(х + 1) = 0?

Решение. Приведем оба уравнения к виду хp = q и решим их:

2 ах – 3 = 4х + а 5х – а(х + 1) = 0

2 ах – 4х = а + 3 5х – ах = а

х (2а – 4) = а + 3 х(5 – а) = а

х = а + 3 при а ≠ 2 х = а , при а ≠ 5

2а – 4 5 –а

Из условия получаем неравенство

а + 3 ≥ а

2а – 4 5 – а

а + 3 - а ≥ 0

2а – 4 5 – а

(а + 3)(5 – а) – а(2а – 4) ≥ 0

(2а – 4)(5 – а)

а² – 2а – 5 ≥ 0

(а – 2)(а – 5)

Решаем это неравенство методом интервалов:

+ - + - +

_{1 - √6 2 1 +√6 5}

Ответ: а Є(- ∞; 1 -√6] U (2; 1 +√6 ] U (5; + ∞);

При каких значениях параметра а корень уравнения (1 – а)х = а + 3 лежит:

а) в промежутке [-1; 3]; б) в промежутке [1; 4]

Решается у доски и в тетрадях.

Ответ: а) а Є (- ∞; 0]; б) а Є 1; 1

5

Найдите все значение а, для которых хотя бы при одном значении х из промежутка

(-2; 3] значение выражения 2х – 3 равно значению выражения а + х (ученики самостоятельно решают потом работа проверяется у доски).

Решение. По условию задачи уравнение 2х – 3 = а + х. относительно х должно иметь корень на промежутке (-2; 3]. 2х – х = а + 3

х = а + 3

Это уравнение имеет единственный корень х = а +3. Приходим к неравенству относительно параметра: - 2 < а + 3 ≤ 3.

Отсюда находим искомые значения параметра: - 5 < а ≤ 0. Ответ: - 5 < а ≤ 0

III Итог .

Для решения задач с параметрами требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы (нет)
А что непривычно? (формулировка задания)
Именно какие задачи решили сегодня (на расположение корней относительно заданных промежутков).

^ IV. Задание для дополнительной работы.

Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка (-2; 3] значение выражения 2х – 3 не равно значению выражения а + х.

^ Ответ: а Є (- ∞; - 5]U (0; +∞)

Занятие 4

Тема: «Решение линейных уравнений, содержащих параметры»

Цель: Научить учащихся анализировать, классифицировать и выстраивать алгоритм своих действий, аргументировать полученные результаты и аттестовать свою точку зрения, работая в команде; приобретение навык исследовательской работы.

Ход занятия.

Актуализация знаний.

При каком значении параметра а корни уравнения х – а = 0 является число 4? Ответ: а = 4

Практическая часть.

Задания для самостоятельного решения. Учащиеся работают в двух командах.

I команда

II команда

При каком значений параметра а корнем уравнения 5х – а = 0 является число 4? Ответ: [20].
При каких значениях параметра а уравнение х² = а не имеет решения?

[а < 0]

3. При каком значений параметра а уравнение 0х = а не имеет решения?

( а ≠0)

4.При каком значений параметра а уравнение ах = 3 не имеет решений?. [а = 0]

5.При каком значений параметра а уравнение ах² = 0 имеет бесконечно много решений.? [а= 0]

6.При каких значениях параметра а сократима дробь х² –25 ? [а ≠ ±5]

х - а

При каком значении параметра а корнем уравнения х² – 2х – а = 0 является число 4? [8]
При каком значений параметра а уравнение 0х = а имеет бесконечно много решений?

[a = 0]

При каком значений параметра а сократима дробь х –2 ? [а = 2]

х – а

При каком значений параметра а уравнение ах = 1 – х не имеет решение? [а = -1]

5. При каком значений параметра а уравнении х . = 0; не имеет решения?

х – а

[а = 0]

6. При каких значениях параметра а сократима дробь х² – а ? [а = 25]

х – 5

Работа проверяется, указывается ошибки.

2. При каких значениях параметра а уравнение х² – ах + 16 = 0 имеет два различных корня? Решается у доски и в тетрадях. Ответ: (- ∞; + ∞) U (8; + ∞)

При каких значениях параметра а уравнение х² – ах + 16 = 0 не имеет корней? (–8; 8)
При каком значении параметра а уравнение (а² – 4)х = а² + а – 6 имеет бесконечно много решений? [2]

Решается у доски и в тетрадях.

III Итог

Работа оцениваются.

^ IV Задание для дополнительной работы.

При каком значений параметра а уравнение (а² – 4)х = а² + а – 6 не имеет решений? [-2]

Занятие 5

Тема: «Решение линейных уравнений, содержащих параметры»

Цель: выработка умения решать линейных уравнений с параметрами; научить учащихся анализировать, сравнивать, обобщать; подготовиться к экзамену.

Ход занятия

Актуализация знаний.

Как решаются линейные уравнения с параметрами?
Как узнать, какие именно случаи нужно рассмотреть?
К какому виду надо привести линейных уравнений с параметрами?

II Практическая часть

Задания для самостоятельного решения. Дифференцировано: слабые ученики решают на доске, а сильные работают самостоятельно.

а) при каком значений параметра а уравнение 2а(а – 2)х = а – 2 имеет бесконечно много решений? [2]

б) при каком значений параметра а уравнение 2а(а – 2)х = а – 2 не имеет решений? [0]

в) при каких значениях параметра а уравнение ах – 16 = 0 имеет только целые корней? а = 1, 2, 4, 8, 16.

г) при каких р уравнение 9х = р – 2 будет иметь отрицательный корень? [р<2]

д) при каких значениях параметра а уравнение х² – ах + 16 = 0 имеет два корня?

[(-∞; 8] U [8; +∞]

е) решите при всех значениях параметра а уравнение ах = 2х + 5

ж) [при а = 2 решений нет; при а ≠ 2, то х = 5/(а – 2)

III Итог

Придумать линейные уравнения с параметрами.

Занятие 6

Тема: «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Цель: научить детей решать систем линейных уравнений с параметрами, повторяя известные для них методы решения систем двух линейных уравнений в двумя неизвестными; научить детей провести анализ самой задачи, и лишь затем пытаться находить ее решения; установить количество решений; найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров; формировать целеустремленность, точность.

^ Ход занятия

I Актуализация знаний

Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Ответ: ах + ву = c а² + в² ≠ 0

а₁х + в₁у = с₁ где а₁² + в₁² ≠ 0

Что называется решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными? (пара чисел (х, у), которая является решением как первого, так и второго уравнения)
Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? (решить систему – это значит найти все её решения или доказать, что данная система не имеет решений)
В чем заключается способ подстановки?
В чем заключается способ сложения?

^ II Объяснение нового материала.

Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, - методом подстановки или методом сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.

Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Две прямые могут либо пересекаться в одной точке (одно решение), либо совпадать (бесконечно много решений), либо не иметь общих точек (решений нет).

Предположим, что коэффициенты уравнений системы отличны от нуля. Тогда:

1) чтобы система имела единственное число решение, необходимо и достаточно выполнение условия: а ≠ в

а₁ в₁

2) чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнение условия: а = в = с

а₁ в₁ с₁

чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение условия:

а = в ≠ с

а₁ в₁ с₁

Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать особо.

Пример 1. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений:

ах + а²у = 1

х + (а – 1)у = а

Решение Из второго уравнения системы найдем х и подставим его в первое уравнение:

а (- (а – 1)у +а) + а²у = 1

х = - (а – 1)у + а

Решим первое уравнение системы:

- а²у + ау + а² + а²у = 1

ау = 1 – а²

При а = 0, 0у = 1 – это уравнение, а значит, и система решений не имеет.

Если а ≠ 0, то у = 1 – а² . Подставляя это значение во второе уравнение системы,

а

получим, что х = а³ – а + 1

а

Ответ: если а ≠ 0, то а³ – а + 1; 1 – а² ; если а = 0, то решений нет.

а а

П

ример 2. Для каждого значения параметра а решить систему а²х + у = а²

х + ау = 1

Р

ешение. Из первого уравнения выразим у и подставляем во второе уравнение системы: у = а² – а²х

х + а(а² – а²х) = 1

Преобразуем второе уравнение к виду х (1 – а³) = 1 – а³

Если а ≠ 1, то х = 1. Подставим найденное значение в первое уравнение системы и найдем, что у = 0.

Если а = 1, то из полученного уравнения следует, что х – любое число. Положим, х = t,

t Є R. Первое уравнение системы дает в этом случае у = 1 – t

^ Ответ: если а ≠ 1, то х = 1, у = 0;

если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R

III Формирование навыков и умений

Для каждого значения параметра а решите систему уравнений:

а) ах + у = а² б) ах+у=а³ в) 2х – ау = 5 г) х + 7у = 2

х + ау = 1 х+ау=1 3у – 6х = -15 3х + у = а

5х + 11у = а² + 3а

Найдите все значения параметра m, при которых система имеет единственное решение.

) 3х – 2у = 6 в) х – (m+ 1)у = m + 2

mх + у = -3 mх + у = m – 3

б) mх + mу = m² г) 2х – 3 = 0

х + mу = 2 mx + у(m – 1) = 1,5

IV Итог . 1) Как решаются системы линейных уравнений с параметрами?

Какие случаи могут быть?

Ответы:

1) а) если а ≠ ±1, то х = а² + а + 1 ; у = - а ;

а + 1 а + 1

если а = 1, то х = t, у = 1 – t; , t Є R; если а = -1, то решений нет.

б) если а ≠ ±1, то х = а² + 1, у = - а; если а = -1, то х = t, у = t –1, t Є R;

если а = 1, то х = t, у = 1 – t, t Є R;

в) если а ≠ 1, то х = 2,5; у = 0;

если а = 1, то х = t, у = 2t – 5, t Є R;

г) если а = -2,8, то х = -1,08, у = 0,44;

если а= 1; то х = 1, у = 1

4 4; при других а решений нет;

2.а) при всех m, кроме m = -1,5;

б) при всех m, кроме m = 0, m = 1; в) при всех m; г) при всех m, кроме m = 1.

Занятие 7

Тема: “ Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры”

Цель: знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом подстановки; уметь использовать этот алгоритм для решения систем уравнений; содержащих параметры; уметь определить взаимное расположение прямых на плоскости (прямые пересекаются, параллельны, совпадают); развивать логическое мышление у учащихся.

Ход занятия

Актуализация знаний. Постановка целей.

Пересекаются ли графики линейных функций:

у = 3 – 5х и у = - 3х + 1

у = 5х – 2 и у = 3 – 8х

у = х + 2 и 3у = 3х + 6

Сколько решений имеет система линейных уравнений:

а) у = 5х – 3 б) у = - 2х + 1 в) у = х + 6

у = 3х + 3 у = 7 – 2х 3у = 3х + 18

^ II. Объяснение темы.

Рассмотрим пример 3. В зависимости от параметра а выяснить взаимное расположение прямых ах + у = 1 и х + ау = 2 – а на плоскости.

Решение. Рассмотрим систему ах + у = 1

х + ау = 2 – а

Пусть а ≠ 0, составим отношения соответствующих коэффициентов:

а ; 1 ; 1

1 а 2 – а

Условие пересечения прямых: а ≠ 1 _, откуда следует, что а² ≠ 1;

1 а то есть а ≠ ±1. Значит, данные прямые будут пересекаться при всех а, отличных от 1 и –1. Если а = 0, то уравнения прямых примут вид у = 1 и х = 2. Эти прямые имеют общую точку, если а = -1, то соотношения примут вид

- 1 ; - 1 ; 1 ,

1 1 3

что означает параллельность прямых. При а = 1, все три дроби равны, и потому прямые совпадают.

Ответ: если а ≠ ±1, то прямые пересекаются;

если а = -1, то прямые параллельны;

если а = 1, то прямые совпадают.

Пример 4. Найти все значения параметра а при которых система

3х + 7у = 20

ах + 14у = 15 имеет единственное решение.

Решение. Если а = 0, то система имеет единственное решение. Если а ≠ 0, то для единственности решения требуется, чтобы имело место неравенство 3 ≠ 7 , откуда а ≠ 6.

а 14

Ответ: при всех а, кроме а = 6.

Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых система

ах – 8у = 12

2х – 6у = 15 не имеет решения.

Решение. При а = 0, система будет иметь решение. Пусть а ≠ 0. Для того, чтобы система не имела решений, необходимо и достаточно выполнение соотношения:

а = в ≠ с

а₁ в₁ с₁, которое в нашем примере запишется так: а = -8 ≠ 12

2 -6 15

Неравенство второй и третьей дробей выполнено, поэтому найдем значения параметра, при которых а = -8. Это равенство выполняется при а = 8 Ответ: 8

2 - 6 3 3

Пример 6. Найти все значения параметра а, при которых система

2х + (а – 1)у = 3

(а + 1)х + 4у = -3 имеет бесконечно множество решений.

Решение. Сначала исключим из рассмотрения значения а, при которых коэффициенты уравнений обращаются в ноль. При а = -1 и а = 1 система будет иметь единственное решение. Пусть а ≠ ± 1. Тогда составим и решим пропорции

2 = а –1 = 3

а + 1 4 - 3

Так как все три дроби должны быть равны, то нет разницы, какие из них приравнивать. Поэтому выберем те, которые приведут к наиболее простому уравнению. Решим уравнение, а затем проверим выполнение равенства для оставшейся дроби. Первое равенство приведет к квадратному уравнению, а второе – к линейному: а – 1 = - 1, а = - 3

4

Подставляя а = - 3 в первую дробь, убедимся, что ее значение также будет равно – 1.

Ответ: - 3.

Практическая часть.

Упражнение для самостоятельной работы.

Найдите все значения параметра р, при которых система имеет бесконечно множество решений:

3х + ру = 3

рх + 3у = 3 Ответ: р = 3.

В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых:

а) ах – у = - 2а; х – ау = 2; если а ≠ ±1, то пересекаются

а = ±1, то параллельны;

б) 2ах + у + 6а = 0; х + 2ау + 3 = 0; если а ≠ ± 1 , то пересекаются

2

если а = ± 1 то прямые совпадают

2

При каких значениях параметра а система имеет бесконечное множество решений?

ах + а²у = а

х + ау = 1 Ответ: а = 0 или а = 1.

Итог

Как выяснить взаимное расположение прямых на плоскости?
Как определить, когда система имеет единственное решение, а когда бесконечное множество решений?

III Задания для дополнительной работы

При каких значениях параметра а систем имеет бесконечное множество решений?

а²х + у = 2

ах + ху = а³ Ответ: а = 0

2. В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых:

(а – 1)х + у = 7; 6х + ау = 7а. ^ Ответ: если а ≠ -2, а ≠ 3, то прямые пересекаются; если а = -2 или а = 3, то прямые совпадают.

Занятие 8

Тема: «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Цель: выработка умения решать систем линейных уравнений, содержащих параметры; найти новые подходы к решению задач; знать алгоритм решения систем линейных уравнений, содержащих параметры способом сложения и уметь использовать его; тренировать внимание и память.

^ Ход занятия

Актуализация знаний.

Выразите одну переменную через другую:

а) 4х – 2у = 6 в) ху = 4 д) х + 2у + ху = 4

б) 3х – у = 1 г) х² + у – 5 = 0

Устно решите системы уравнений:

а) (х – 2)(у – 3) = 1 б) х² + 2ху + у² = 9

х – 2 = 1 х – у = 1

у - 3

Ответ: (3; 4); (1; 2) Ответ: (3; 2) ; (-3; 4)

Закрепление темы.

Пусть даны две прямые: у = к₁х + в₁

у = к₂х + в₂

Когда эти прямые параллельны? (если к₁ = к₂, в₁ ≠ в₂, тогда они параллельны).

Когда они совпадают? (если к₁ = к₂, в₁ = в₂)

Когда они пересекаются? (если к₁ ≠ к₂)

Рассмотрим такое задание.

При каких значениях параметра а система уравнений

а + у = 0,5а²х

2х – у + 2 = 0

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Решение. Выразим в каждом уравнений системы переменную у.

а + у = 0,5а²х у = 0,5а²х - а

2х – у + 2 = 0 у = 2х + 2

Сравним коэффициенты при х. При равенстве коэффициентов при х. При равенстве коэффициентов при х (угловых коэффициентов) прямые могут либо совпадать, либо быть параллельными.

0,5а² = 2

а² = 4

а = ±2

При а = 2 имеем систему: у = 2х – 2

у = 2х + 2 и прямые параллельны (система не имеет решений)

При а = -2 имеем систему у = 2х + 2

у = 2х + 2 и прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений)

^ Ответ: при а = 2 система не имеет решений; а при а = -2 система имеет бесконечно много решений.

III Работа в группах

Консультанты проверяют задания учащихся. До этого учитель проверяет работы консультантов.

Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений

а) - 4х + ау = 1 + а

(6 +а)х + 2у = 3 + а Ответ: а = - 4

б) а²х + (2 – а)у = 4 + а²

ах + (2а – 1)у = а⁵ – 2 Ответ: а = ± 1

в) х + ау = 1

ах – 3ау = 2а + 3 Ответ: а = 0

- Какое условие должно выполнятся, чтобы система не имела решений?

(прямые должны быть параллельными, к₁ = к₂, в₁ ≠ в₂

IV Итог

Какие задания нужны для решения систем линейных уравнений, содержащих параметры?

^ V Задания для дополнительной работы

Найдите все значения параметра а, при которых система не имеет решений

2х + а²у = а² + а – 2

х + 2у = 2 Ответ: а = - 2

В зависимости от параметра а выясните взаимное расположение прямых

(а + 1)х + 3у + а = 0, х + (а – 1)у = а = 0

Ответ: если а ≠ ±2, то прямые пересекаются;

если а = -2 , то прямые совпадают;

если а = 2, то прямые параллельны

Задание 9

Тема: «Решение квадратных уравнений содержащих параметра»

^ Цель урока: научить учеников провести исследовании: выяснить как изменяются корни при изменении данных задачи, определить какими должны быть эти данные, чтобы корни уравнения в итоге удовлетворяли тому или иному условию. Определить при каких допустимых значениях параметров квадратное уравнение имеет решения, не имеет решений, установить количество этих решений, найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров; развивать логическое мышление.

Ход занятия

I Актуализация знаний.

Какое уравнение называется квадратным уравнением?
Как определяют число корней квадратного уравнения?

По закону дискриминанта:

если Д >0, то уравнение имеет два различных корня;

если Д = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);

если Д<0, то уравнение не имеет корней.

II Объяснение нового материала.

Рассмотрим пример 1.

При каких значениях параметра а уравнения 4х² – 4ах + 1 = 0

имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней.

Решим. Найдем дискриминант исходного уравнения

Д = 16а² – 4 ^. 4 ^. 1 = 16а² – 16

а) Так как уравнение имеет два различных корня, то Д = 16а² – 16 > 0

а² > 1

а² – 1 > 0

+ - + (а – 1)(а + 1) > 0

^-1 ¹

Ответ: (- ∞; - 1) U (1; + ∞)

б) Так как имеет два корня, не обязательно различных, то Д = 16а² – 16 ≥0, а² ≥1

и а Є (-∞; - 1] U [1; +∞)

в) Так как уравнение не имеет корней, то Д = 16а² – 16 < 0,

а² < 0 и а Є (-1; 1)

Ответ: при а Є (-∞; - 1) U (1; +∞) – уравнение имеет два различных корня;

при а Є (-∞; - 1] U [1; +∞) – уравнение имеет два корня

при а Є (-1; 1) – уравнение не имеет корней.

Пример 2. При каких значениях параметра уравнение

(в – 1)х² + (в + 4)х + в + 7 = 0 имеет только один корень?

Решение. При в = 1 уравнение становится линейным:

(1 – 1)х² + (1 + 4)х + 1 + 7 = 5х + 8 = 0; х = - 1,6

При в ≠ 1 имеем квадратное уравнение. Так как квадратное уравнение имеет один корень, то Д = 0.

Д = (в + 4)² – 4(в – 1)(в + 7) = в² + 8в + 16 – 4(в² + 6в – 7) = в² + 8в + 16 – 4в² – 24 в + 28 = - 3в² – 16в + 44 = 0

3в² + 16в – 44 = 0

в₁ = 2; в₂ = - ^ 22

3

Ответ: при в = 1; в = 2; в = - 22 уравнение имеет только один корень.

3

Пример 3. Решите уравнения х²- 2(а + 1)х + 4 а = 0 – относительно переменной х_.

Решение. х²- 2(а + 1)х + 4 а = 0, к = - (а + 1)

Д₁= (а + 1)² – 4 а = а² + 2а + 1 – 4а = а² – 2а + 1 = (а – 1)²

Д₁ (а – 1)², то уравнение имеет решение, также при всех значениях параметра а

если а = 1, то Д = 0, и х = 2

если а ≠ 1, х₁ = (а + 1) + (а – 1) = 2а; х₂ = а + 1 – а + 1 = 2

^ Ответ: при а =1, то х = 2 уравнение имеет единое решение;

при а≠ ± 1, то уравнение имеет два решения: 2а; 2.

III Применение знаний в стандартной ситуации

Решите уравнения х² – 4авх – (а²+ в²)² = 0 относительно переменной х.

Ответ: если а² ≠ в², то уравнение решений не имеет;

если а² = в², уравнению удовлетворяет единственное значение

переменной х = 2ав.

При каких значениях параметра а уравнению х² + ах + 1 = 0 удовлетворяет единственное значение переменной х.

Ответ: а = -2, а = 2.

Решите уравнение х² – 2а + а(а + 1) = 0.

IV Итог

На что нужно обратить внимание при решении квадратных уравнений с параметрами? (при каких допустимых значениях параметров уравнение имеет решения, не имеет решении, установить количество этих решений; найти вид каждого решения при соответствующих значениях параметров).

^ V Задания для дополнительной работы

Решите уравнения:

а) 4х² – 15х + 4а³ = 0 б) х² – 4х + а = 0

При каких значениях параметров в уравнение (2в – 5)х² – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет единственное решение? Ответ: 2,5; 4
При каких значениях параметра в уравнение

(2в – 5)х² – 2(в – 1)х + 3 = 0 имеет два различных корня? ^ Ответ: в≠ 2,5; 4

Занятие 10

Тема: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры»

Цель: выработка умения решать квадратные уравнения, содержащих параметры; уделять внимания задачам исследовательского характера; задаче о существовании корней квадратного уравнения (нулей квадратного трехчлена), задаче о связи знаков корней квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 (а≠ 0) и параметров а, в, с.; подготовить к экзамену.
^

Ход занятия

Сформулируйте теорему Виета для приведенного уравнения.
Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения.

II Применений знаний в нестандартной ситуации.

Рассмотрим Пример 1.

Найдите все значения параметра в, при которых уравнение х² – 2вх + в + 6 = 0 имеет положительные корни.

Решение. Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант его был неотрицателен (Д ≥ 0)

Оба корня положительны, если сумма корней положительна (х₁+ х₂ > 0) и произведение корней положительно (х₁ ^. х₂ >0).

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения, тогда по теореме Виета:

х₁+ х₂ = 2в, х₁ ^. х₂ = в + 6. Имеем систему неравенств: