М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии Выписка из учебного плана (ОПД.Ф.04) Распределение часов по семестрам Недельная нагрузка по семестрам 1. Требования к обязательному минимуму содержания Дисциплина - линейная алгебра и геометрия 3. Принципы и цели 3.2. Цели курса 7. Рекомендуемая литература 8. Контролирующие материалы Линейные преобразования линейных пространств

Подобный материал:

• М. К. Аммосова Институт математики и информатики рабочая программа, 31.65kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 219.2kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 460.29kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 247.89kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра математической экономики рабочая, 71.2kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра информатики и вычислительного, 59.79kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 100.1kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 98.66kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 199.63kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 78.16kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М.К. АММОСОВА

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

курса

«Линейная алгебра и геометрия»

(наименование курса)


Для государственных университетов

Направление 510100 - Математика

(шифр, название)


Степень - бакалавр математики


Якутск 2003


Составители: доцент Гурзо Г.Г.,

ассистент Иванова А.О.,

старший преподаватель Антонен А.И.

(уч. ст., уч. зв., должн., ФИО)


^

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии

“ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Зав. кафедрой: Никитина Е.С.

Рабочая программа утверждена на заседании методкомиссии ИМиИ

“ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Председатель методкомиссии ИМиИ: Афанасьева В.И.

Рабочая программа утверждена на заседании научно – методического совета ЯГУ

“ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Председатель научно – методического совета ЯГУ: Яковлева А.Н.


^ Выписка из учебного плана (ОПД.Ф.04)


Объем работы студентов (в часах) из учебного плана направления 510100 - Математика составляет 200 часов, в том числе:

- лекций - 72;

- лабораторных занятий - 90;

- аудиторных занятий - 162;

- СРС - 38.

^ Распределение часов по семестрам

Вид занятий	Семестры		Всего
	II (18 нед.)	III (18 нед.)
Аудиторные	90	72	162
Лекционные	36	36	72
Лабораторные	54	36	90
СРС	18	20	38
Итого	108	92	200
Форма контроля	Экзамен	Экзамен

^ Недельная нагрузка по семестрам

Вид занятий	Семестры
	II	III
Аудиторные	4	4
Лекционные	2	2
Лабораторные	3	2

^ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ

ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ

БАКАЛАВРА МАТЕМАТИКИ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ510100 - Математика

^ ДИСЦИПЛИНА - ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ


Векторные пространства: линейная зависимость векторов; размерность и базис векторного пространства; координаты вектора в заданном базисе; изоморфность векторных пространств одинаковой конечной размерности; подпространства векторного пространства; линейная оболочка и ранг системы векторов; пересечение и сумма подпространств; прямая сумма; линейные функции; сопряженное пространство; дуальный базис; линейные отображения векторных пространств, их задание матрицами; ядро и образ линейного отображения; условие существования обратного отображения; линейные операторы; действия над ними; матрицы оператора в различных базисах; инвариантные подпространства; собственные векторы и собственные значения; характеристический многочлен линейного оператора; теорема Гамильтона-Кэли. Жорданова клетка: корневые пространства; разложение в прямую сумму; теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора в комплексном и в вещественном пространстве; единственность жордановой нормальной формы; необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы; полилинейные функции на векторном пространстве: общее понятие о тензорах; координаты тензора; переход от одной системы координат к другой; задание тензоров типа /2,0/ (билинейных функций) матрицей; квадратичные и эрмитовы формы; приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду; закон инерции; положительно определенные формы; критерий Сильвестра; свертка тензора; симметрические и кососимметрические тензоры; операция симметрирования и альтернатирования; внешнее умножение; внешняя алгебра; связь с определителями; ориентация конечномерного векторного пространства. Евклидовы и унитарные векторные пространства: длина вектора и угол между векторами; неравенство Коши-Буняковского; ортонормированные базисы; процесс ортогонализации; ортогональные и унитарные матрицы; примеры; изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности; соответствие между билинейными формами и линейными операторами; линейный оператор, сопряженный к данному; симметрические и эрмитовы линейные операторы; их спектр; существование собственного ортонормированного базиса; приведение квадратичной (эрмитовой) формы к главным осям; ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них. Аффинные (точечные) пространства: системы координат; плоскости в аффинном пространстве; их задание системами линейных уравнений; расстояние между точками евклидова пространства; расстояние от точки до плоскости; объем в евклидовом пространстве; объем параллелепипеда и определитель Грама; аффинные отображения: их запись в координатах: разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования, оставляющего на месте точку; геометрический смысл определителя аффинного преобразования; движение евклидова пространства; классификация движений; теоретико-групповая точка зрения на геометрию; аффинная и евклидова геометрия; квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой геометриях; невырожденные центральные квадрики; асимптотические направления; геометрические свойства главных осей эллипсоида; проективное пространство произвольной размерности, различные модели: однородные координаты; аффинные карты проективного пространства; проективные преобразования и проективная группа; квадрики в проективном пространстве, их квалификация.


2. ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 510100 – Математика


Бакалавр математики отвечает следующим требованиям:

1. Имеет целостное представление о процессах и явлениях, происходящих в неживой и живой природе, понимает возможности современных научных методов познания природы и владеет ими на уровне, необходимом для решения задач, имеющих естественнонаучное содержание и возникающих при выполнении профессиональных функций;
   
2. Способен продолжить обучение в магистратуре и по специальности, в соответствии с п.1.3., вести профессиональную деятельность в иноязычной среде (требование рассчитано на реализацию в полном объеме через 10 лет);
   
3. Владеет культурой мышления, знает его общие законы, способен в письменной и устной речи правильно (логически) оформить его результаты;
   
4. Умеет на научной основе организовать свой труд, владеет компьютерными методами сбора, хранения и обработки (редактирования) информации, применяемые в сфере его профессиональной деятельности;
   
5. Способен в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к переоценке накопленного опыта, анализу своих возможностей, умеет приобретать новые знания, обучаться в магистратуре, использовать другие формы обучения, включая самостоятельные и информационно образовательные технологии;
   
6. Понимает сущность и социальную значимость своей будущей профессии, основные проблемы дисциплин, определяющих конкретную область его деятельности, видит их взаимосвязь в целостной системе знаний;
   
7. Способен к проектной деятельности в профессиональной сфере на основе системного подхода, умеет строить и использовать модели для описания и прогнозирования различных явлений, осуществлять их качественный и количественный анализ;
   
8. Способен поставить цель и сформулировать задачи, связанные с реализацией профессиональных функций, умеет использовать для их решения методы изученных им наук;
   
9. Готов к кооперации с коллегами и работе в коллективе, знаком с методами управления, умеет организовать работу исполнителей, находить и принимать управленческие решения в условиях различных мнений, знает основы педагогической деятельности;
   
10. Методически и психологически готов к изменению вида и характера своей профессиональной деятельности, работе над междисциплинарными проектами;
    
11. Способен к совершенствованию своей профессиональной деятельности в области математики.
    

^ 3. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ


3.1. Принципы построения курса


3.1.1. Данный курс разработан в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 510100 – Математика;

3.1.2. В рабочей программе выделяется ядро курса (линейные пространства, квадратичные и билинейные формы, линейные преобразования линейных пространств, евклидовы пространства);

3.1.3. Курс имеет практическую направленность: лабораторные – 90 ч., самостоятельная работа – 38 ч.;

3.1.4. Программа предполагает индуктивное построение курса;


^ 3.2. Цели курса

№	Содержание
Студент должен иметь представление о
	Инвариантных множителях, элементарных делителях, минимальном многочлене матрицы, теореме Гамильтона-Кэли.
	Полилинейных функциях на векторном пространстве, общем понятии тензора, свертке тензора, внешней алгебре.
	Расстоянии между точками евклидова пространства, расстоянии от точки до плоскости.
Студент должен знать
	Определение квадратичной и билинейных форм, их рангов, эквивалентных квадратичных и билинейных форм, конгруэнтных билинейных форм, распадающейся и положительно определенной квадратичной формы, сигнатуру канонического и нормального видов форм, сигнатуры, положительного и отрицательного индексов матриц, связь матриц эквивалентных форм и конгруэнтных симметрических билинейных форм. Свойства эквивалентных форм.
	Доказательства основной теоремы теории квадратичных форм, закона инерции, основной теоремы о распадающихся формах, теорем о положительно определенных формах (критерий Сильвестра).
	Определение - матрицы, эквивалентных матриц, канонического вида, унимодулярной матрицы, элементарных матриц, подобных матриц, жордановой матрицы Типы элементарных преобразований, критерий эквивалентности -матриц, основную теорему о подобии матриц, свойства унимодулярных матриц, критерий приводимости матрицы к жордановой нормальной форме.
	Доказательства теоремы о существовании и единственности канонической матрицы, II критерий эквивалентности -матриц.
	Аксиоматическое определение линейного пространства, базы и размерности, линейно зависимой системы векторов, изоморфных пространств, линейно зависимой системы векторов, изоморфных пространств, подпространства, суммы и пересечения подпространств, прямой суммы, линейного преобразования, неособенного линейного преобразования, дефекта ранга линейного преобразования, собственных векторов линейного преобразования, подпространств инвариантных, относительно преобразования, линейного преобразования, линейного многообразия. Формулировки теорем о размеренности суммы подпространств, о ранге линейного преобразования. Доказательство того, что ядро и область значений линейного преобразования это инвариантные подпространства, что сумма ранга и дефекта равна размерности пространства. Необходимые и достаточные условия приводимости матрицы линейного преобразования к диагональному виду, условия существования обратного отображения.
	Аксиоматическое определение скалярного произведения в евклидовом и унитарном пространстве. Определение ортонормированного базиса, ортогонального и симметрического преобразования. Условия изоморфизма евклидовых пространств, свойства ортогональных матриц, ортогональных и симметрических преобразований. Процесс ортогонализации, неравенство Коши - Буняковского.
Студент должен уметь
	Приводить квадратичную и билинейную формы к нормальному виду и находить невырожденные линейные преобразования, приводящие форму к этому виду. Определить эквивалентность форм, положительную определенность, представлять распадающуюся форму в виде произведения линейных форм.
	Находить канонический вид - матриц, определять эквивалентность - матриц, подобие матриц, находить жорданову нормальную форму матрицы.
	Находить базу и размерность пространства, матрицу перехода от одного базиса к другому, распознавать является ли заданное преобразование линейным. Находить ядро и область значений, дефект и ранг линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицы, его собственные векторы. Выполнять действия над линейными преобразованиями (сложение, умножение, умножение на число). Находить строку координат вектора в заданном базисе, базис суммы и пересечения подпространств.
	Находить длину вектора и угол между векторами, ортогональное дополнение подпространств, собственный ортонормированный базис, приводить квадратичные формы к главным осям, находить преобразование для пары форм (одна из которых положительно определена), приводящее одну из них к каноническому, а другую к нормальному виду. Определять, является ли данное преобразование ортогональным или симметрическим.

^ 7. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гурзо Г.Г., Скрябин А.В. Квадратичные и билинейные формы, Якутск 1997
   
2. Гурзо Г.Г., Антонен А.И. Полиномиальные матрицы, 1998
   
3. Гурзо Г.Г. Лабораторные задания по теме «Линейные пространства», Якутск, 1995
   
4. Гурзо Г.Г, Антонен А.И. Лабораторные занятия по теме "Линейные преобразования линейных пространств". Якутск, 1996
   
5. Гурзо Г.Г, Скрябин А.В. Лабораторные занятия по теме "Евклидовы пространства". Якутск, 1996
   
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1986 *
   
7. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975с *
   
8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. *
   
9. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. – М., 1999
   
10. Иванова А.О., Неустроева Т.К., Гурзо Г.Г., Бочарова И.Н. Методические указания и контрольные задания по алгебре и теории чисел находится в печати типографии ЯГУ, 2000 и в электронной библиотеке СИТИМ в виде pdf-файлов
    
11. Антонен А.И., Бочарова И.Н., Дмитриев И.Г., Гурзо Г.Г., Иванова А.О., Неустроева Т.К. «Методические указания для студентов заочного отделения 1 курса МПО Электронная библиотека «Ситим» (http://www.sitim.sitc.ru), Якутск 2002
    
12. Глухов М.М, Солодовников А.С. Задачник-практикум по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1969
    

Примечание: * отмечена основная литература.


^ 8. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ МАТЕРИАЛЫ


Экзаменационные вопросы


Модуль 1. Квадратичные и билинейные формы.

Модуль 2. Полиномиальные матрицы.

1. Квадратичные формы. Основная теорема.
   
2. Конгруэнтные и эквивалентные билинейные формы. Приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду. Связь матриц конгруэнтных и эквивалентных билинейных форм.
   
3. Закон инерции.
   
4. Распадающиеся квадратичные формы.
   
5. Свойства положительно определенных квадратичных форм.
   
6. Критерий Сильвестра.
   
7. Теорема о существовании канонической -матрицы.
   
8. Теорема о единственности канонической матрицы.
   
9. Унимодулярные матрицы и их свойства.
   
10. 2-ой критерий эквивалентности -матриц. Подобие матриц, свойства подобных матриц.
    
11. Основная теорема о подобии матриц.
    
12. Жорданова нормальная форма. Теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.
    

Модуль 3. Векторные пространства.

Модуль 4. Евклидовы и унитарные векторные пространства.

1. Определение n-мерного векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Теорема о том, что все базы n-мерного векторного пространства состоят из одинакового количества векторов.
   
2. Основная теорема.
   
3. Линейные пространства. Изоморфизм линейных пространств. Свойства изоморфного отображения.
   
4. Теорема о том, что каждый вектор пространства единственным образом представляется как линейная комбинация векторов базиса.
   
5. Невырожденность матрицы перехода. Связь координат одного и того же вектора в разных базисах.
   
6. Пересечение и сумма линейных подпространств.
   
7. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
   
8. Теорема о прямых суммах подпространств.
   
9. Линейные многообразия.
   
10. Линейные преобразования линейных пространств. Действия над линейными преобразованиями.
    
11. Матрица линейного преобразования. Формула нахождения координат образа вектора при линейном преобразовании.
    
12. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базах.
    
13. Теорема о существовании и единственности линейного преобразования, переводящего линейно независимые векторы в произвольные.
    

14. Область значений и ядро линейного преобразования. Теоремы об их размерностях.
    
15. Теорема о том, что образы и прообразы линейных пространств опять являются линейными пространствами.
    
16. Неособенные линейные преобразования. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейное преобразование было неособенным.
    
17. Ранг линейного преобразования. Теорема о ранге произвольного линейного преобразования.
    
18. Инвариантные подпространства.
    
19. Теорема о прямой сумме инвариантных подпространств.
    
20. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о том, что собственными значениями линейного преобразования служат действительные характеристические корни линейного преобразования, и только они.
    
21. Спектр. Теорема о матрице линейного преобразования в базе, состоящей из собственных векторов.
    
22. Простой спектр. Диагональный вид матрицы линейного преобразования с простым спектром.
    
23. Теорема о том, что характеристический многочлен любого линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
    
24. Аксиоматическое определение евклидова пространства. Теорема о превращении любого линейного пространства в евклидово.
    
25. Неравенство Коши - Буняковского.
    
26. Длина вектора и угол между векторами.
    
27. Теорема о том, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами.
    
28. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации.
    
29. Ортонормированная система векторов. Теорема о том, что всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базами.
    
30. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы база евклидова пространства была ортонормированной.
    
31. Теорема о том, что всякая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.
    
32. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении евклидова пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.
    
33. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.
    
34. Изоморфизм евклидовых пространств. Теорема.
    
35. Ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц.
    
36. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы матрица была ортогональной.
    
37. Теорема о матрице перехода от ортонормированной базы евклидова пространства к любой другой его ортонормированной базе.
    
38. Ортогональные преобразования евклидовых пространств. Утверждения о них.
    
39. Свойства ортогональных преобразований.
    
40. Симметрические преобразования и их свойства.
    
41. Утверждения о симметрических преобразованиях.
    
42. Теорема о характеристических корнях симметрического преобразования.
    
43. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейное преобразование евклидова пространства было симметрическим.
    
44. Приведение квадратичных форм к главным осям. Теорема о существовании ортогональной матрицы, приводящей симметрическую матрицу к диагональной.
    
45. Теорема о приведении действительной квадратичной формы к главным осям.
    
46. Теорема о коэффициентах канонического вида квадратичной формы, к которому она приводится с помощью ортогонального преобразования.
    
47. Теорема о собственных векторах симметрического преобразования, относящихся к различным собственным значениям.
    
48. Пары форм. Теорема о существовании невырожденного линейного преобразования, одновременно приводящего действительную положительную определенную квадратичную форму к нормальному виду и произвольную действительную форму - к каноническому.
    

Вопросы коллоквиумов

Модуль 1. Квадратичные и билинейные формы.

1. Квадратичные формы. Основная теорема.
   
2. Конгруэнтные и эквивалентные билинейные формы. Приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду. Связь матриц конгруэнтных и эквивалентных билинейных форм.
   
3. Закон инерции.
   
4. Распадающиеся квадратичные формы.
   
5. Свойства положительно определенных квадратичных форм.
   
6. Критерий Сильвестра.
   

Модуль 2. Полиномиальные матрицы.

1. Теорема о существовании канонической -матрицы.
   
2. Теорема о единственности канонической матрицы.
   
3. Унимодулярные матрицы и их свойства.
   
4. 2-ой критерий эквивалентности -матриц. Подобие матриц, свойства подобных матриц.
   
5. Основная теорема о подобии матриц.
   
6. Жорданова нормальная форма. Теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.
   

Модуль 3. Векторные пространства.

Линейные пространства

1. Определение n-мерного векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Основная теорема. Утверждения об эквивалентных системах векторов.
   
2. Определение линейного пространства. Конечномерные линейные пространства. Теорема о том, что все базы конечномерного линейного пространства состоят из одинакового количества векторов.
   
3. Теорема о том, что любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базы всего пространства.
   
4. Изоморфизм линейных пространств. Свойства.
   
5. Теорема о том, что каждый вектор пространства единственным образом представляется как линейная комбинация векторов базиса.
   
6. Невырожденность матрицы перехода. Связь координат одного и того же вектора в разных базах.
   
7. Пересечение и сумма линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
   
8. Прямая сумма подпространств. Теорема о прямых суммах подпространств.
   

^

Линейные преобразования линейных пространств

1. Определение линейного преобразования. Действия над линейными преобразованиями.
   
2. Матрица линейного преобразования. Формула для нахождения координат образа вектора при линейном преобразовании.
   
3. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базах.
   
4. Теорема о существовании и единственности линейного преобразования, переводящего линейно независимые векторы в произвольные.
   
5. Область значений и ядро линейного преобразования. Теоремы об их размерностях.
   
6. Теорема о том, что образы и прообразы линейных пространств снова являются линейными пространствами.
   
7. Неособенные линейные преобразования. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейное преобразование было неособенным.
   
8. Ранг линейного преобразования. Теорема о ранге произвольного линейного преобразования.
   
9. Инвариантные подпространства. Теорема о том, что ядро и область значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами относительно любого линейного преобразования.
   
10. Теорема о прямой сумме инвариантных подпространств.
    
11. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о том, что собственными значениями линейного преобразования служат действительные характеристические корни линейного преобразования и только они.
    
12. Спектр. Теорема о матрице линейного преобразования в базе, состоящей из собственных векторов.
    
13. Простой спектр. Диагональный вид матрицы линейного преобразования с простым спектром.
    
14. Теорема о том, что характеристический многочлен любого линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
    

Модуль 4. Евклидовы и унитарные векторные пространства.

1. Аксиоматическое определение евклидова пространства. Теорема о превращении любого линейного пространства в евклидово.
   
2. Неравенство Коши – Буняковского. Длина и угол между векторами.
   
3. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации.
   
4. Теорема о том, что всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами.
   
5. Ортонормированная система векторов. Теорема о том, что всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базами.
   
6. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы база евклидова пространства была ортонормированной.
   
7. Теорема о том, что всякая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.
   
8. Ортогональное дополнение. Теорема о представлении евклидова пространства в виде прямой суммы подпространства L и его ортогонального дополнения.
   
9. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства.
   
10. Изоморфизм евклидовых подпространств. Теорема.
    
11. Ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц.
    
12. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы матрица была ортогональной.
    
13. Теорема о матрице перехода от ортонормированной базы евклидова пространства к любой другой его ортонормированной базе.
    
14. Ортогональные преобразования евклидовых пространств. Свойства ортогональных преобразований утверждения о них.
    
15. Симметрические преобразования евклидовых пространств. Свойства симметрических преобразований и утверждения о них.
    
16. Теорема о характеристических корнях симметрического преобразования.
    
17. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы линейное преобразование евклидова пространства было симметрическим.
    
18. Теорема о существовании ортогональной матрицы, приводящей симметрическую матрицу к диагональному виду.
    
19. Теорема о приведении действительной квадратичной формы к главным осям.
    
20. Теорема о коэффициентах канонического вида квадратичной формы, к которому она приводится с помощью ортогонального преобразования.
    
21. Теорема о собственных векторах симметрического преобразования, относящихся к различным собственным значениям.
    
22. Пары форм. Теорема о существовании невырожденного линейного преобразования, одновременно приводящего действительную положительно определенную квадратичную форму g к нормальному виду и произвольную действительную квадратичную форму f – к каноническому виду.