М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа

Вид материала

Рабочая программа

Содержание Недельная нагрузка по семестрам ТРЕБОВАНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (МОСКВА 2000 г.) Содержание требования стандарта (опд.ф.09) 2. Принципы и цели 2.2. Цели курса Темы для самостоятельной работы

Подобный материал:

• М. К. Аммосова Институт математики и информатики рабочая программа, 31.65kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 219.2kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 460.29kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра прикладной математики рабочая, 247.89kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра математической экономики рабочая, 71.2kb.
• М. К. Аммосова Институт математики и информатики Кафедра информатики и вычислительного, 59.79kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 100.1kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 98.66kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 199.63kb.
• М. К. Аммосова институт математики и информатики рабочая программа, 190.99kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.К. АММОСОВА

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

курса

«Топология»

(наименование курса)


Для государственных университетов

Специальность 510100 - Математика

(шифр, название)


степень - бакалавр математики


Якутск 2003

Составители: ст. преподаватель Шамаев Э.И.

(уч. ст., уч. зв., должн., ФИО)

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии

“ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Зав. кафедрой:

Рабочая программа утверждена на заседании метод. комиссии ИМиИ ЯГУ

“ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Председатель метод. комиссии ИМиИ ЯГУ:

Рабочая программа утверждена на заседании научно – методического совета ЯГУ “ “ _________________ 2003 г. протокол № _____

Председатель научно – методического совета ЯГУ:


Выписка из учебного плана


Объем работы студентов (в часах) из учебного плана направления 510100 — Математика, утвержденного 25.04.2001, составляет 54 часа, в том числе

- лекций — 36;

- СРС — 18.


Распределение часов по семестрам

Семестр	Всего	Лекций	СРС	Форма контроля
4	54	36	18	Зачет
Итого	54	36	18

Недельная нагрузка по семестрам

Семестр	Аудиторных	Лекций
4	2	2

1. ТРЕБОВАНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (МОСКВА 2000 г.)
   

Специалист должен:

1. Уметь осуществлять процесс обучения учащихся средней школы с ориентацией на задачи обучения, воспитания и развития личности школьников и с учетом специфики преподавания геометрии;
   
2. Владеть основными понятиями геометрии, уметь использовать методы исследования, используемые в аналитической, проективной и дифференциальной геометрии, при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений;
   
3. Иметь целостное представление о геометрии как науке, ее месте в современном мире и в системе наук;
   
4. Уметь анализировать собственную деятельность, с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации.
   

СОДЕРЖАНИЕ ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА (ОПД.Ф.09)


Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона.


2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ


2.1. Принципы построения курса

1. Данный курс разработан для студентов 2 курса в соответствии с Государственным образовательным стандартом (ГОС) высшего профессионального образования (Москва, 2000).
   
2. Основной целью курса является формирование у студентов прочных знаний по основам общей топологии, тензорного анализа, выработка у студентов практических навыков выполнения действий над множествами и тензорами, воспитание у студентов умения применять сведения из общей топологии и тензорного анализа в решении геометрических задач, развитие у студентов логического мышления и математической интуиции, воспитание у студентов культуры мышления.
   
3. В рабочей программе выделяется ядро курса (гладкие многообразия, общие сведения из общей топологии, тензорный анализ на многообразиях, дифференциальные формы и теории интегрирования, элементы топологии многообразий).
   
4. Для успешного изучения курса студенту необходимо знать понятие множества: пересечение, объединение и разность множеств, понятие вектора и операции над векторами, преобразование декартовой системы координат, классификацию поверхностей второго порядка, определение функции нескольких переменных, частные производные функции нескольких переменных. Студент также должен уметь находить сумму векторов, произведение вектора на число, находить скалярное и векторное произведение векторов, вычислять частные производные функции нескольких переменных.
   
5. Курс имеет теоретическую направленность (лекционных занятий - 36, СРС - 18).
   
6. Оценка знаний и умений студентов производится в коллоквиумах.
   

2.2. Цели курса

№ цели		Содержание цели
Студент должен иметь представление
1		О связи интуитивного представления и формального определения математических объектов
2		О важности интуитивного представления в работе математика
3		О математической эстетике
4		О стремлении математики к обобщениям
5		О связи математики и физики
Студент должен знать
6	Предмет дифференциальной геометрии и топологии.
7	Определение топологического и метрического пространств, определение непрерывных отображений метрических пространств, гомеоморфизма, элементарные свойства топологических пространств: компактность, связность, определение гладкого многообразия, определение касательного пространства к многообразию
8	Определение тензора, определение дифференциальной формы, внешнего произведения дифференциальных форм, определение отображения касательных пространств, определения тензора кривизны, геодезической линии
9	Определение интеграла дифференциальной формы, определение криволинейного интеграла, поверхностного интеграла, общую формулу Стокса
10	Определение гомотопии, степени отображения, теорему Гаусса-Бонне. Определение векторного поля, определение особой точки векторного поля
Студент должен уметь
11	Доказывать непрерывность отображений, приводить примеры топологических и метрических пространств
12	Приводить примеры гладких многообразий
13	Вычислять интеграл дифференциальной формы в пределах одной локальной карты
14	На интуитивном уровне определять гомотопическую эквивалентность отображений

2. Содержание самостоятельной работы
   

Темы для самостоятельной работы

1. Примеры гладких многообразий. Построение атласа. (3 ч.)
   
2. Примеры функций на многообразии. Непрерывность. (3 ч.)
   
3. Гомотопические классы. Гомеоморфность многообразий. (6 ч.)
   
4. Римановы многообразия. Связность, ковариантное дифференцирова-ние. Геодезические. (3 ч.)
   
5. Тензоры на римановом многообразии и R³ (3 ч.)
   
6. Интегрирование на многообразии (2 ч.)
   

3. ЛИТЕРАТУРА
   

Основная:

1. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. –М.: Наука, 1987
   
2. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. — Новосибирск.: 1998.
   

Дополнительная литература:

1. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. –М.: 1974
   
2. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – М.: 1982.
   
3. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. –М.: Наука, 1977
   
4. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. –М.: Изд-во Моск ун-та, 1983