Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том 3

Вид материала

Документы

Содержание Предложение, истинное само по себе: аЬ К оглавлению Добавления к опыту универсального исчисления Ь, и, с другой стороны, остановлено, что а Предложение общеутвердительное Следование, истинное само по себе: а Принципы исчисления. Перестановка букв в одном и том же термине ничего не меняет Из любого числа предложений можно составить одно сочетанием всех субъектов в одном субъекте и всех предикатов — в одном предикат

Подобный материал:

• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том , 8259.23kb.
• Монадология, 209.43kb.
• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том, 9222.8kb.
• Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах:, 241.84kb.
• Готфрид Вильгельм Лейбниц, 94.22kb.
• Лейбниц Готфрид Вильгельм (Leibniz Gottfried Wilhelm) немецкий ученый (философ, математик,, 271.47kb.
• Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716), немецкий философ, математик, физик,, 201.35kb.
• Установочная лекция вткс, 212.41kb.
• Георг Фридрих Риман Готфрид Вильгельм Лейбниц литература, 208.32kb.
• Источник: Чехов А. П. Полное собрание сочинений и писем в тридцати томах. Сочинения, 565.43kb.

как в п. 45 и 46.

(48) Общеутвердительное заключение имеется только в первой фигуре. Вторая и третья фигуры исключаются (п. 37 и 39). Кроме того, меньший термин является общим в заключении (п. 11), следовательно, и в меньшем предложении (п. 20). Но оно утвердительное (п. 21), следовательно, его предикат частный (п. 9); следовательно, меньший общий термин является в нем не предикатом, а субъектом, что не имеет места в четвертой фигуре (п. 20). Следовательно, остается только первая фигура.

Затем следует перейти к перечислению модусов и доказать четыре модуса первой фигуры; из них будет доказано подчинение принятием тождественного предложения. Так получаются два оставшихся модуса первой фигуры. Из шести модусов первой фигуры посредством сведения доказываются шесть модусов второй и шесть модусов третьей, и одновременно доказывается, что существует столько же модусов второй и третьей фигур, сколько и первой. Модусы четвертой доказываются из первой через обращение, и те, которые были доказаны, дают остальные посредством сведения ^п. Следует подчеркнуть, что не существует большего числа модусов и что это известно не из перечисления неправильных модусов, а из законов правильных. Например, в первой фигуре посылки SCҐD

VBPD ^1а дают: л л \ A Barbara 1 { SBPD АА цъяг! 2

{ SCPD \ PBPD ai I Darii 3

SCSD

SBPD PBPD

„л \ Е Celarent 4

^h" \ 0 Celaro 5

El 0 Ferio 6

 

 

==559

00.php - glava46

опыт УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

(1) Пусть общеутвердительное предложение будет выражаться нами в данном рассуждении следующим образом: а есть Ь, или: (Всякий) человек есть животное. Мы, следовательно, всегда будем подразумевать, что впереди стоит знак общности. Предложений отрицательных, частных и гипотетических пока не будем касаться.

(2) Предложение, истинное само по себе: аЬ есть а, или: (Всякое) разумное животное есть животное.

аЪ есть Ь, или: (Всякое) разумное животное есть разумное; (или опусканием Ь)

а есть я, или: (Всякое) животное есть животное.

(3) Следование, истинное само по себе: Если а есть Ъ и Ъ есть с, след., а есть с, или: если (всякий) человек есть животное и (всякое) животное есть субстанция, след., (всякий) человек есть субстанция.

(4) Отсюда следует: Если а есть bd и Ь есть с, след., а есть с. (Всякий) человек есть разумное животное. (Всякое) животное есть субстанция. Следовательно, (всякий) человек есть субстанция.

Доказывается это так: Если а есть bd, по предположению, и bd есть Ь, согласно (2), тогда а есть Ь, согласно (3). Опять-таки если а есть Ъ (как мы приняли) и Ь есть с (по предположению), то а есть с, согласно (3).

(5) Предложение является истинным, если оно получается путем вывода из того, что принято и что само по себе истинно.

Замечание. Даже если некоторые предложения принимаются по произволу людей, как в случае определения терминов, истина, получаемая из них, отнюдь не произвольна. Ведь по крайней мере абсолютно верно, что заключения, полученные из принятых определений, или, что то же самое, связь между заключениями или теоремами и определениями или произвольными гипотезами, абсолютно истинны. Это очевидно в случае чисел, где знаки и десятичные периоды установлены по произволу лю-

 

К оглавлению

==560

дей, а выведенные из них вычисления означают абсолютные истины. Ведь эти вычисления выражают такую связь между принятыми символами и такие вытекающие отсюда формулы, которые обозначают и связи вещей (которые остаются одними и теми же, какие бы символы ни были приняты). Было бы полезно также, чтобы символы выбирались таким образом, чтобы из немногих допущенных легко можно было вывести многое, что стало бы возможным, если бы символы соотносились с простейшими элементами мышления.

(6) Если что-либо может быть всюду подставлено вместо другого с сохранением истинности, то и это другое может быть в свою очередь всюду подставлено вместо первого с сохранением истинности. Например, поскольку всюду вместо «плоской треугольной фигуры» может быть подставлен «трехсторонник», то и, наоборот, вместо «грехсторонника» может всюду быть подставлен «треугольник» Ибо я утверждаю, что если даны а и Ь и & может повсюду подставляться вместо данного а, то и а может повсюду подставляться вместо данного Ь. Это я доказываю так. Возьмем ли мы предложение «Ь есть с» или «d есть Ь», я утверждаю, что в них можно подставить а, так как если предположить, что подстановка невозможна, т. е. что нельзя сказать «а есть с» и «а есть а», то последние два предположения будут ложными; следовательно, в любом случае будут истинными такие два предложения: «Ложно, что д есть с» и «Ложно, что а есть а». Но Ь может быть подставлено вместо а, по предположению. Следовательно, будут истинными и такие два предложения: «Ложно, что Ь есть и «Ложно, что d есть Ь», что противоречит условию, ибо последние были приняты как истинные. Таким образов утверждение доказано. То же самое может быть доказало и иным способом.

(7) Тождественные суть те, одно из которых может быть подставлено вместо другого с сохранением истинности, как, например, «треугольник» и «трехсторонний четырехугольник» и «четырехсторонник».

(8) Все предложения (общеутвердительные, с которыми мы здесь только и имеем дело), в которые входит данная буква а, могут быть редуцированы к следующим формам: а есть и

аЬ есть е

с есть а,

 

==561

дать: «Всякое животное есть человек». Поэтому предложение «ab есть с» нельзя редуцировать к более простому, в которое также входило бы а. Остальные же — можно как явствует из сказанного.

(9) Если а есть / и / есть а, то а и / будут тождественны, т. е. каждое из них может быть подставлено вместо другого. Это доказывается так. Сначала покажем, что / всегда может подставляться вместо данного а. Разумеется, в силу сказанного выше все предложения, в которые входит а, могут быть редуцированы к трем, а именно к а есть d, ab есть е и с есть а. Поэтому покажем, что здесь возможна троякая подстановка: / есть d, fb есть е и с есть /. Это именно так: поскольку / есть а и в есть d, постольку также f будет d. Подобным же образом, поскольку / есть а, постольку также и fb будет ab (в силу доказанного в «Добавлениях») ¹, и если ab есть е, то и fb будет е. Наконец, поскольку с есть в и в есть /, то и с будет /. Тем же способом, которым мы показала что / может быть подставлено вместо в, доказывается также, что в может быть подставлено вместо /. Поскольку же выбор в или / был произволен, постольку, в силу (6), мы показали взаимную обратимость подстановки.

Сущее есть то, что обозначается каким-либо термином, например а или Ь или ab ².

 

==563

ДОБАВЛЕНИЯ К ОПЫТУ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Заметим, что для уяснения природы данного исчисления необходимо понимать следующее: что бы ни выражалось нами в каких-либо буквах, принятых произвольно, то же самое и тем же самым способом можно выразить в любых других принятых буквах. Так что, когда я утверждаю, что данное предложение: «ab есть а» — всегда истинно, я подразумеваю не только то, что, например, предложение «Животное разумное есть животное» будет истинным, полагая, что «животное» обозначается через а, а «разумное» — через Ъ, но и то, что будет истинные предложение «Животное разумное есть разумное», полагая, что «разумное» обозначается через а, а «животное» — через Ъ. И поскольку то же самое происходит в любом другом случае, например «Органическое тело есть органическое», постольку также вместо «в& есть а» можно было бы сказать «bd есть Ь».

Нужно также отметить, что безразлично, говорите ли вы аЪ ичп же Ьа, ибо безразлично, скажете ли вы «животное разумное» или же «разумное животное».

Повторение какой-либо буквы, относящейся к одному и тому же термину, излишне, и достаточно привести ее один раз; например, аа, или «человек человек».

Поэтому, если а будет be, и Ъ будет d, и с также будет d, бесполезно говорить, что а есть dd, достаточно сказать что а есть d. Например: «Человек есть разумное животное», «Всякое животное есть чувствующее». Равным образом и «Всякое разумное есть чувствующее». Однако излишне было бы говорить: «Человек есть чувствующее чувствующее», ибо это значит не сказать ничего другого, кроме: «Человек есть чувствующее». Если же кто-то за хочет сказать, что человек есть чувствующее двулично, то предоставим ему самому это выразить иным способом, следуя правилам нашей характеристики.

Различные предикаты могут конъюнктивно объединяться в один. Так, если установлено, что а есть Ь, и, с другой стороны, остановлено, что а есть с, можно утверждать, что а есть Ьс. К примеру, если человек есть жи-

 

==564

вотное и если человек есть разумное, то будет: человек — разумное животное.

И наоборот, один составной предикат может быть разделен на многие. Так, если а есть be, тогда а есть Ъ та а есть с. Например: человек есть разумное животное; следовательно, человек есть животное и человек есть разумное.

Когда указанное разделение самоочевидно, исходя из него можно доказывать композицию. Положим, что человек есть животное и человек есть разумное и что тем не менее человек не есть разумное животное. Тогда предложение «Человек есть разумное животное» будет ложным. Но ложность этого предложения могла бы быть доказана не иначе как тремя способами: доказательством того, во-первых, что человек не есть животное, но это противоречит предположению; во-вторых, что человек не есть разумное, что также противоречит предположению; в-третьих, что он не есть то и другое одновременно, т. е. что два указанных предиката несовместимы, и это также противоречит предположению, ибо мы установили, что человек одновременно есть и животное, и разумное.

В субъекте осуществима композиция, но не осуществимо разделение. Так, если Ь есть а и с есть а, то и Ьс будет а. Если всякое животное живет и всякое разумное живет, несомненно также, что и всякое разумное животное живет. Доказательство этого следующее: be есть b, b есть а; следовательно, be есть а; be есть с, с есть а; следовательно, be есть а.

Из разнообразных сочетаний композиций и разделений терминов также можно было бы получать многие следствия, которых логики до сих пор не касались, в особенности если бы мы занялись отрицательными и, кроме того, частными предложениями.

Если b есть с, то аЪ будет ас, т. е. если человек есть животное, то мудрый человек есть мудрое животное. Доказывается оно так: аЬ есть b, b есть с; следовательно, ab есть с (по первому правилу следования); ab есть с, ab есть а; следовательно, ab есть ас (согласно доказанному выше).

Однако нельзя делать обратный вывод: «ab есть ас»; следовательно, «Ь есть с». Ибо может случиться, что а будет ad и bd будет с. Но если бы даже а и с не имели ничего общего, имело бы силу следование «ab есть ас». Мы

 

==565

здесь, однако, рассмотрим, как условились, только общие следования. Потом мы обратимся и к более специальным, которые даже важнее, чем общие, но которых до сих пор незаслуженно мало касались. Ведь и весь анализ зиждется на некоторых следованиях, которые по видимости грешат по форме, однако фактически не являются таковыми из-за постоянно соблюдаемого определенного общего отношения терминов.

Если а есть Ь, и а есть d, и d есть Ь, то ad будет равно bd. Это доказывается из вышеприведенного: а есть Ь, а есть с, d есть b, d есть с; следовательно, ad есть be, если положить, что с есть d. Но из предыдущего ясно, что для того же самого заключения нет нужды в стольких посылках и достаточно одной — «а есть b». Ибо отсюда уже следует: ad есть bd.

Если а есть Ь и d есть с, тогда ad будет Ъс. Эта прекрасная теорема доказывается таким образом: а есть b, следовательно, ad есть bd (в силу доказанного выше); d есть с; следовательно, bd есть be (опять-таки в силу доказанного выше); ad есть bd, и bd есть be; следовательно, ad есть be.

Что и требовалось доказать.

Вообще, сколько бы ни было предложений — а есть Ь, с есть d, e есть /... — из них можно получать одно: асе есть bdf — посредством добавления с одной стороны субъектов, с другой — предикатов.

Вообще, если будет предложение: т есть bdf, из него могут быть получены три [предложения]: т есть b, т есть d, т есть /.

Все это легко доказывается при одном допущении: что субъект есть то, что содержит, а предикат — то, что содержится как совместное, или конъюнктивное; или же, наоборот, субъект есть то, что содержится, а предикат — то, что содержит альтернативное, или дизъюнктивное ¹.

Термин — это a, b, ab, bed, как, например: «человек», «животное», «разумное животное», «разумное смертное зрячее».

Предложение общеутвердительное я обозначаю так: а есть b, или — «(Всякий) человек есть животное». Ибо я решил, чтобы всегда, когда а — субъект, b — предикат, а «есть» — связка, подразумевался знак общности.

Постулат: допустим, что данная буква может быть равнозначна одной или многим буквам сразу, так что d

 

==566

 

равнозначно данному я и каждое из них может быть подставлено вместо другого; или же с равнозначно термину ао„ как, например: «человек» есть то же, что «разумное животное». Я имею в виду при этом, что ничего противоположного этим допущениям ранее не предполагалось. Предложения, истинные сами по себе.

(1) а есть а. Животное есть животное.

(2) ab есть а. Разумное животное есть животное.

(3) а не есть не-я. Животное не есть не - животное.

(4) не-а не есть а. Не - животное не есть животное.

(5) То, что не есть а, есть не - а. То, что не есть животное, есть не - животное.

(6) То, что не есть не-я, есть а. То, что не есть неживотное, есть животное.

Из этих предложений могут быть выведены многие другие.

Следование, истинное само по себе: а есть Ь, и Ь есть с, следовательно, а есть с. «Бог мудр», «Мудрый справедлив»; следовательно, «Бог справедлив». Эта цепочка может быть продолжена и дальше, например: «Бог мудр»; «Мудрый справедлив», «Справедливый строг»; следовательно, «Бог строг».

Принципы исчисления.

(1) Что бы ни выводилось в каких-либо произвольно выбранных буквах, то же самое должно выводиться и в любых других буквах, заданных при тех же условиях. Так, поскольку истинно, что ab есть а, то будет истинно и что be есть b, а также что bed есть be. Ибо если вместо be подставить е (на основании постулата), то получится то же самое, как если бы мы сказали: ed есть е.

(2) Перестановка букв в одном и том же термине ничего не меняет; так, ab совпадает с Ъа, или же «разумное животное» совпадает с «животным разумным».

(3) Повторение одной и той же буквы в том же самом термине излишне, как, например, Ъ есть аа или bb есть а; «Человек есть животное животное», или «Человек человек есть животное». Достаточно сказать: b есть а, или «Человек есть животное».

(4) Из любого числа предложений можно составить одно сочетанием всех субъектов в одном субъекте и всех предикатов — в одном предикате, а есть b, с есть d, и е есть /, откуда получится, что асе есть bdf. Например: «Бог всемогущ», «Человек наделен телом», «Распятый есть мученик»; следовательно, «Распятый бого - человек есть все-

 

==567

могущий, наделенный телом мученик». Не важно, что иногда то, что соединяется таким способом, несовместимо одно с другим, как в случае: «Круг есть нуль-угольник», «Квадрат есть четырехугольник»; следовательно, «Круглый квадрат есть нуль -угольный четырехугольник». Ибо это предложение истинно в силу невозможного предположения. Указанное правило особенно полезно иметь в виду в более длинных цепях рассуждений. Например, в таком рассуждении: «Бог мудр», «Бог всемогущ», «Справедливый всемогущий карает злых», «Бог не карает некоторых злых в этой жизни», «Кто карает, но не карает в этой жизни, карает в другой жизни»; следовательно, «Бог карает в другой жизни».

(5) Из любого предложения, предикат которого составлен из многих терминов, могут быть получены многие [предложения], каждое из которых имеет тот же, что и у исходного, субъект, а в качестве предиката имеет какую-либо часть исходного предиката, а есть bed; следовательно, а есть Ъ, а есть с и а есть d. Или же: «Человек есть разумное смертное зрячее»; следовательно, «Человек есть разумное», «Человек есть смертное», «Человек есть зрячее».

Если а есть Ь и Ь есть а, тогда говорят, что я и и то?кдественны. Например: «Всякий благочестивый счастлив» и «Всякий счастливый благочестив»; следовательно, «благочестивый» и «счастливый» — одно и то же.

Отсюда легко показать, в каком случае одно может быть всюду подставлено вместо другого с сохранением истинности, т. е. если а есть Ь, и Ь есть а, и Ь есть с или d есть а, то и а есть с или d есть Ь. Так, например: «Всякий благочестивый — счастливый» и «Всякий счастливый — благочестивый», «Всякий счастливый — избранный» и «Всякий мученик — благочестивый»; следовательно, «Всякий благочестивый — избранный» и «Всякий мученик — счастливый». (Заметим, что я здесь имею в виду последовательно благочестивого, т. е. того, кто и умирает блаженно.)

Различные суть те, которые не тождественны, как «человек» и «животное»; ибо хотя всякий человек есть животное, однако не всякое животное есть человек.

Раздельные суть а и Ь, если а не есть Ь и Ь не есть а, как «человек» и «камень». Ибо человек не есть камень, а камень не есть человек. Таким образом, все раздельные суть различные, но не наоборот.

 

==568