Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том 3

Вид материала

Документы

Содержание А не- А противоречиво. К оглавлению L истинно» и «Не истинно, что L L истинно» (по L не ложно». Ибо «/.» есть то же, что «Истинно, что L L не истинно». Совпадают: «L ложно» и «Не истинно, что L Л is. В могут обозначать термины пли другие предложения. (5) «Л не совпадает с В» Предложение, истинное само по себе: А А (по п. 6). (13) Также делается вывод, что истинно, что А Утвердительное предложение: «А А можно поставить А Y А = АА, можно сказать также, что В =ВВ. Предложение ложно А, когда все, что входит в значение А А возможно, т. е. доказать, что EFG не

Подобный материал:

• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том , 8259.23kb.
• Монадология, 209.43kb.
• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том, 9222.8kb.
• Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах:, 241.84kb.
• Готфрид Вильгельм Лейбниц, 94.22kb.
• Лейбниц Готфрид Вильгельм (Leibniz Gottfried Wilhelm) немецкий ученый (философ, математик,, 271.47kb.
• Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716), немецкий философ, математик, физик,, 201.35kb.
• Установочная лекция вткс, 212.41kb.
• Георг Фридрих Риман Готфрид Вильгельм Лейбниц литература, 208.32kb.
• Источник: Чехов А. П. Полное собрание сочинений и писем в тридцати томах. Сочинения, 565.43kb.

и В, совпадают также нс- Л и не- В. А не- А противоречиво.

Возможное — это то, что не содержит противоречивого, т е. Л не- Л. Возможно то, что не есть Y не- У

Совпадают: не- не- Л и А, поэтому, если совпадают не- Л и В, совпадают гак же не- B и Л.

 

К оглавлению

==580

 

(3) Совпадают: «не истинно» и «ложно».

Следовательно, совпадают: «не ложно» и «истинно».

Если Л = В, также не- Л = не- В.

Если Л = «нечто истинное», то не- Л = не-(нечто истинное), т. е. «не истинное», или «ложное», ибо не- Л содержит не-ЛГ⁸.

(4) Совпадают: «Истинно, что L истинно» и «Не истинно, что L не истинно». Поэтому совпадают «L» и «Ложно, что L ложно». Потому что «L» — это то же, что и «L истинно», И ЭТО ТО ЖО, ЧТО «ИCTИHНO, ЧТО L ИСТИННО» (ПО

п 1), и это то же, что «Не истинно, что L не истинно» (по п. 4), и это то же, что «Ложно, что L ложно» (по п. 3).

Совпадают: «L» п «Не ложно, что L не ложно». Ибо «/.» есть то же, что «Истинно, что L истинно» (по п. 1), и это то же, что «Не ложно, что L не ложно» (по п. 3).

Совпадают: «L ложно» и «Не ложно, что L не истинно».

Совпадают: «L ложно» и «Не истинно, что L не ложно». Это легко доказывается из предшествующего.

Вообще, если предложение называется истинным или не истинным, ложным или не ложным, тогда истинное, помноженное на истинное, ложное — на ложное дает истинное. «Нет», умноженное на «нет», равнозначно опущению обоих «нет».

Из этого доказывается также, что всякое предложение или истинно, или ложно. Т. е. если L не истинно, то оно ложно. Если оно истинно, то оно не ложно; если оно не ложно, то оно истинно; если оно ложно, то оно не истинно. Всё по п. 3.

Предложения же 1, 2, 3, 4 служат в качестве определения, и поэтому они принимаются без доказательства, поскольку они указывают на употребление некоторых знаков, а именно ложности и истинности, утверждения и отрицания ⁹.

Л есть В (т. е. В находится в Л, т. е. В может быть подставлено вместо Л).

Категорическое предложение: «Л совпадает с Д», «Л не совпадает с В».

Л is. В могут обозначать термины пли другие предложения.

(5) «Л не совпадает с В» есть то же, что и «Ложно, что Л совпадает с В».

(6) Если Л совпадает с В, В совпадает с Л.

(7) Если Л не совпадает с В, В не совпадает с Л.

 

==581

(8) Если А совпадает с В и В совпадает с С, также и А совпадает с С.

(9) Если А совпадает с В, не- А совпадает с не- В. Эти четыре аксиомы суть королларии определения, что те термины совпадают, один из которых может быть подставлен вместо другого

(10) Предложение, истинное само по себе: А совпадает с А.

(11) Предложение, ложное само по себе: А совпадает с не- А.

(12) Отсюда делается вывод, что ложно, что не- Л совпадает с А (по п. 6).

(13) Также делается вывод, что истинно, что А не совпадает с не-А (по п. 5)

Эти предложения можно было бы рассматривать как истины, получаемые посредством выводов

Кроме того, как я сказал, А обозначает здесь термин или предложение. Отсюда не-4 обозначает противоречащее термину или противоречащее предложению.

(14) Если принимается предложение и не говорится ничего дополнительно, считается, что оно истинно. Совпадает с п. 1.

(15) Не- А совпадает с не- В. Это королларии п. 10 при предположении, что не-В совпадает с А.

(16) Утвердительное предложение: «А есть В», или «А содержит В», т. е. (как говорит Аристотель) «В присутствует в А», разумеется прямо. Т. е , если подставить вместо А его значение, получится «А совпадает с BY». Например, «Человек есть животное», т. е. человек есть то же, что и животное, а именно: человек есть то же, что и разумное животное. Знаком Y я обозначаю нечто неопределенное, так что BY есть то же, что и «некоторое В», v е. животное (где подразумевается «разумное», если только нам известно, что это должно подразумеваться), т. е. «некоторое животное». Таким образом, «А есть В» есть то же, что «А есть совпадающее с некоторым В», т. е. А = BY ^и.

(17) Отсюда совпадают предложения: «4 есть В» и «Некоторое В совпадает с А», т. е. BY =A.

(18) Совпадают: А и АА, и ААА, и т. д. по природе этой характеристики, т. е. человек, и человек человек, и человек человек человек. Таким образом, если кто-нибудь будет одновременно назван человеком и животным, то, разлагая «человек» до «разумного животного», его равным

 

==582

образом можно будет назвать «разумным животным» я «животным», т. е. «разумным животным» ^и

(19) Если А есть В, то вместо А можно подставить В, когда речь идет только о содержании; например, если «А есть В» и «В есть С», то «А будет С». Это доказывается из природы совпадения, ибо совпадающие могут быть подставлены друг вместо друга (за исключением предложений, которые можно было бы назвать формальными, где одно из совпадающих принимается столь формально, что отличается от остальных, которые в действительности рефлексивны и говорят не столько о вещи, сколько о нашем способе понимания ее; в этом и состоит различие между (тем и другим совпадением). Таким образом, если (по п. 16) А = BY и В = CZ, то А = CYZ, т. е А содержит С ¹².

(20) Следует заметить, и это в нашем исчислении должно быть установлено заранее, что вместо любого числа букв можно подставить одну, например YZ = X, однако до этого еще не использованную в этом рациональном исчислении, чтобы не возникло неясности.

(21) Далее. Определенное обозначается мною первыми буквами алфавита, неопределенное — последними, если нет иных указаний.

(22) Таким образом, вместо любого числа определенных букв можно подставить одну определенную, значение которой, т. е. определение, суть те буквы, вместо которых она подставлена.

(23) Вместо любой определенной буквы можно подставить неопределенную, еще не использованную. Можно таким же образом подставлять и вместо любого числа определенных, и вместо определенных и неопределенных букв, т. е. можно положить А = Y.

(24) К любой букве может быть добавлена новая неопределенная, например, вместо А можно поставить А Y, ибо А = АА (по п. 18) и А есть Y (т е. вместо А можно поставить Y, по п. 23). Следовательно, А = AY.

(25) «А есть В» (А содержит В) влечет (содержит) «Некоторое В есть (содержит) А».

Ибо (А есть В) = (BY = А) (по п. 17) = (BY = AY) (по п. 24) = «Некоторое В есть А» (по п. 17).

(26) В связи с этим следует напомнить еще кое-что установленное раньше относительно этого исчисления. А именно, то, что вообще утверждается или умозаключается, но не в качестве гипотезы, о любых еще не исполь-

 

==583

зованных буквах, должно мыслиться о любых других буквах. Так, если А = АА, можно сказать также, что В =ВВ.

(27) Некоторое В = YB. Следовательно, подобным образом некоторое А = ZA; во всяком случае, это можно говорить, следуя примеру предыдущего (п. 26), однако надо принять новую неопределенную букву в последующем равенстве, а именно Z, как ранее была принята.

(28) Термин, употребленный просто, я обычно рассматриваю как общий, например «А есть В», т. е. «Всякое А есть В», т. е. в понятии А содержится понятие /Л

(29) «Л есть В», следовательно, «Некоторое А есть /. » (или «Л содержит В» влечет, или содержит, «Некоторое 1 содержит В»). Ведь «.А есть В» = «ЛУ есть В» (по п. 24).

(30) «Л есть Z?» и «В есть А» — это то же самое, что «Л и В совпадают», т. е. А совпадает с В, которое совпадает с А. Ведь А = BY и В = AZ. Следовательно (по п. 31), А = AYZ. Следовательно, YZ излишни, т. е. Z содержится в А. Следовательно, вместо «В = AZ» можно сказать «В = -4».

(31) Необходимо также отметить, что, если А = AY, тогда либо Y излишне пли скорее является общим термином, как «сущее», и во всяком случае может быть безболезненно опущено, как единица в арифметическом умножении, либо Y есть в А. Более того, Y действительно всегда есть в А, если говорят: «Л = YA».

(32) Отрицательное предложение: «А не содержит В», т. е. «Ложно, что А есть (содержит) В» ^1а.

(32) «В не-2?» невозможно, т. е. если В не- В = С, то С будет невозможно ¹⁴.

/33) Отсюда если А = не- В, то АВ будет невозможно.

(34) То, что содержит «В не- В», есть то же, что и «невозможное», т. е. «EB не- В» есть то же, что и «невозможное».

(35) Предложение ложно, если в нем содержится, что А В содержит не-В (при допущении, что Я и Л возможны). Я понимаю под В и Y как термины, так и предложения ^1Э.

С36) А = В. Следовательно, А есть В, т. е, А = В содержит, что А есть В. Ведь если бы имелся излишний Y, мы имели бы А = BY, т. е. А есть В ¹⁶. То же самое доказывается другим путем: А = В есть то же, что А = BY 11 В = AY. Следовательно, А = В содержит А = BY. Точно так же А = В, следовательно, АА = ВА. Следовательно, А = ВА, Следовательно, А есть В.

 

==584

 

(37) В есть В. Ведь В = В (по п. 10). Следовательно, В есть В (по п. 36).

(38) АВ есть В. Это недоказуемо и является либо тождественным предложением, либо определением или «-З есть», или «содержащего», или «истинного предложения». Ибо имеется в виду, что АВ, т. е. то, что содержит В, есть В, т. е. содержит В.

(39) Если В содержит С, тогда АВ содержит С. Ибо ЛВ есть В (по п. 38), В есть С (по предположению). Следовательно (по п. 19), АВ есть С.

(40) Истинное предложение есть то, которое совпадает со следующим: «АВ есть В», т. е. может быть сведено к этому первоначально истинному. (Я полагаю, что это приложимо и к не категорическим предложениям.)

(41) Следовательно, поскольку ложно то предложение, которое не является истинным (по п. 3), то (по п. 40) ложное предложение есть то же, что и предложение, которое не совпадает с «АВ есть В»; т. е. ложное предложении есть то же, что и предложение, которое не может быть доказано.

Предложения факта не всегда могут быть нами доказаны и поэтому принимаются как предположения.

(42) Из предложений «А содержит В» и «А не содержит В» одно истинно, другое ложно, т. е. они противоположны, потому что если одно может быть доказано, другое — не может — при условии, что термины возможны. Следовательно (по п. 41), они не являются одновременно истинными или ложными.

(43) «В содержит не- В» ложно, т. е. В не содержит не-А. И в том и в другом случае это ясно из предыдущего. Ведь при любом разложении эта форма остается неизменной и никогда не станет «АВ есть В». Это ясно из п. 42 и [может быть доказано] иным способом. В содержит б (по п. 37); следовательно, не содержит не- В. Иначе бы оно было невозможным (по п. 32).

(44) Точно так же очевидно, что «не-А содержит 5» ложно.

(45) Ложно, что В и ие-В совпадают. Очевидно из п. 43 и 44. При этом допускается, что термин В возможен.

(46) Ложно, что АВ содержит не- В, т. е. АВ не содержит не-В. Я предполагаю, что АВ возможно. Доказывается, как и п. 43. Ведь АВ содержит В, следовательно, не содержит не- В, поскольку является не- невозможным (по п. 32) ¹⁷.

 

==585

 

является истинным. Это может быть доказано из следующего.

(56) Истинное вообще я определяю так: А истинно, если при подстановке значения вместо А, когда все, что входит в значение А, рассматривается (если это возможно) как А, никогда не возникает В и не- В, т. е. противоречие. Отсюда следует, что для того, чтобы быть уверенными в истинности, нужно либо продолжать разложение до первых истин — по крайней мере или таких, которые уже получены ранее таким методом, или таких, о которых известно, что они истинны, — либо доказать из самого процесса разложения, т. е. из некоторого общего отношения между предыдущими и последующими разложениями, что никогда не встретится такое, как бы долго ни продолжалось разложение. Это очень важно, ибо таким образом мы зачастую можем освободиться от длительного анализа. И может случиться, что сам этот анализ букв содержит нечто относительно последующих анализов, как в данном случае анализ «истинного». Можно также усомниться, необходимо ли всякое разложение доводить до первых истин, т. е. до неразложимого, особенно в отношении случайных истин, так как не хватит никакого времени, чтобы свести их к тождественным предложениям.

(57) Ложное вообще я определяю как то, что не есть истинное. Итак, чтобы утверждать, что нечто является ложным, необходимо, чтобы оно или было противоположно истинному, или содержало противоположное истинному, или содержало противоречие, т. е. В и не- В, или в случае доказательства было бы невозможно доказать его истинность, сколь бы долго не продолжался анализ.

(58) Таким образом, то, что содержит ложное, ложно.

(59) Однако нечто может содержать истинное и все же быть ложным, если, разумеется (по п. 58), оно содержит также и нечто ложное.

(60) Оказывается также, что отсюда можно узнать отличие необходимых истин от остальных, так как необходимые истины — это такие, которые могут быть сведены к тождественным предложениям, или такие, противоположные которым могут быть сведены к противоречивым; невозможные предложения — это такие, которые могут быть сведены к противоречивым, или такие, противоположные которым могут быть сведены к тождественным.

(61) Возможные предложения — это такие, о которых можно доказать, что в процессе их разложения никогда

 

==587

не возникнет противоречия. Случайные истинные предложения — такие, которые нуждаются в разложении, продолженном до бесконечности. Ложные же случайные предложения — такие, ложность которых можно доказать только тем, что невозможно доказать их истинность.

Представляется сомнительным, достаточно ли для доказательства истины того, что при продолжении анализа становится известно, что не возникнет никакого противоречия. Ведь отсюда будет следовать, что все возможное истинно. Несложный термин, который возможен, я называю истинным, а невозможный — ложным. Но можно усомниться в сложном термине, таком, как «Л, содержащее В», т. е. «Л есть В». Разложение сложного термина я понимаю как разложение на другие сложные термины. Так, пусть (А есть В) = L, и В = CD, и (А есть С) = М, и (4 есть D) = N, тогда получится L = MN. Если разложить субъект А, то невозможно вместо А подставить часть его значения, по следует подставить все значение, о чем я хотел заметить попутно. И если С = EG, и D =

FG, и А = EFG, М может быть разложено на следующие два: (А = EFG) = Р и (EFG = FG) = Q, т. е. будем пусть, что М = PQ; и аналогично N может быть разложено на два следующих: (А = EFG) = Р и (EFG = FG) =

R, следовательно, L -с PQR, а это первые истины, ибо Р есть предположение, определение или данные опыта, тогда как R и Q суть первые аксиомы.

Но если идти дальше, для определения требуется, чтобы была очевидна его возможность, т. е. необходимо доказать, что А возможно, т. е. доказать, что EFG не включает противоречия, т. е. не включает Х не- Х. Но в этом можно убедиться только на опыте, если известно, что А существует или существовало и поэтому возможно (или по крайней мере существовало нечто подобное А, хотя на деле, может быть, и нельзя привести такой случай, ибо две полные вещи никогда не бывают подобными, а что касается неполных, достаточно, чтобы из двух подобных существовала одна как неполная, т. е. чтобы общая деноминация считалась возможной (более того, это представляется полезным; так, если существует хоть одна сфера, но можно по праву утверждать, что любая сфера возможна) ²¹.

Отсюда ясно, что дело обстоит одинаково как в случае сложных, так и в случае несложных терминов. Ибо дока-

 

==588

зать истинность сложного термина — значит свести его к другим истинным сложным терминам, а и\ в конце концов — к сложным терминам, являющимся первыми истинами, т. е. к аксиомам (т. е. предложениям, которые истинны сами по себе), определениям несложных терминов, о которых доказано, что они истинны, и к данным опыта. Подобным же образом истинность несложных терминов доказывается сведением их к другим истинным несложным терминам, а их в свою очередь — к другим несложным терминам, которые являются первыми истинами, т. е. к терминам, которые постигаются сами по себе, либо к терминам, известным нам из опыта (или подобным тем, с которыми мы имеем дело в опыте, хотя и нет необходимости добавлять это, ибо можно доказать, что при существовании одного возможного среди подобных и остальные являются возможными). Так, всякое разложение как простых, так и сложных терминов находит завершение в аксиомах, терминах, которые постигаются сами по себе, и из данных опыта. Это разложение осуществляется по отношению к любому термину подстановкой значения, ибо даже при подстановке содержимого вместо содержащего подставляется неопределенное значение, как было указано выше, в п. 16.

(62) Всякое истинное предложение может быть доказано. Поэтому, так как данные опыта суть в свою очередь истинные предложения, отсюда следует, что если не существует никакого иного способа доказательства, кроме описанного выше, то и данные опыта могут быть в свою очередь разложены на аксиомы, термины, постигаемые сами по себе, и на данные опыта и что невозможны никакие первые данные опыта, кроме тех, которые известны сами по себе, т. е. аксиом.

(63) Возникает вопрос, могут ли данные опыта разлагаться на другие данные до бесконечности (без ссылки на опытные данные), возможно ли существование такого доказательства, которое принимало бы, что доказательство предложения обязательно предполагает доказательство другого предложения, не являющегося ни аксиомой, ни определением и потому в свою очередь нуждающегося в доказательстве. Отсюда необходимо, чтобы некоторые несложные термины могли непрерывно разлагаться так, чтобы никогда не доходить до таких, которые постигаются сами по себе. Иначе из полного разложения будет ясно, окажется ли виртуальное совпадение формальным, т. е.

 

==589

выраженным, или редукция дойдет до тождественных предложений.

(64) Таким образом, спрашивается, возможно ли, чтобы разложение несложных терминов могло продолжаться до бесконечности, так чтобы никогда не дойти до таких, которые постигаются сами по себе. Ведь если у нас нет никаких понятий, воспринимаемых сами по себе, которые могут быть отчетливо восприняты, или есть только одно такое понятие (например, сущего), из этого следует, что ни одно предложение не может быть совершенным образом рационально доказано; ибо даже если это можно было бы сделать из определений и аксиом без данных опыта, всё же определения предполагают возможность терминов и потому разложение либо на постигаемые сами по себе, либо на познанные на опыте и, следовательно, сводятся к опыту, т. е. к другим предложениям.

(65) Поэтому, если мы скажем, что продолжение разложения до бесконечности возможно, тогда по крайней мере можно будет увидеть, возможно ли свести продвижение в анализе к некоторому правилу; подобное правило последовательности обнаружится в доказательстве сложных терминов, в которые входят несложные, разложимые до бесконечности.

(66) Поэтому, если