Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том 3

Вид материала

Документы

Содержание Основы исчисления рассуждений Элементы универсальной характеристики Если общеутвердительное предложение истинно Если частноутвердительное предложение истинно Если общеотрицательное предложение истинно Если частноотрицателъное предложение истинно 3. Или если число Я будет 15 и число А Заглавная буква Строчная буква К оглавлению Латинская строчная буква Греческая строчная буква Строчная латинская буква, отмеченная каким-нибудь экспонентом, выраженным греческой буквой

Подобный материал:

• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том , 8259.23kb.
• Монадология, 209.43kb.
• Готфрид вильгельм лейбниц сочинения в четырех томах том, 9222.8kb.
• Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах:, 241.84kb.
• Готфрид Вильгельм Лейбниц, 94.22kb.
• Лейбниц Готфрид Вильгельм (Leibniz Gottfried Wilhelm) немецкий ученый (философ, математик,, 271.47kb.
• Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716), немецкий философ, математик, физик,, 201.35kb.
• Установочная лекция вткс, 212.41kb.
• Георг Фридрих Риман Готфрид Вильгельм Лейбниц литература, 208.32kb.
• Источник: Чехов А. П. Полное собрание сочинений и писем в тридцати томах. Сочинения, 565.43kb.

ОСНОВЫ ИСЧИСЛЕНИЯ РАССУЖДЕНИЙ

Всякое человеческое рассуждение совершенствуется применением некоторого рода знаков, или характеров. Ибо не только сами вещи, но даже и идеи вещей нельзя, да и нет нужды постоянно отчетливо обозревать умом, а поэтому, ради краткости, для их выражения употребляются знаки. Ведь если бы геометр всякий раз, когда он называет в процессе доказательства гиперболу, спираль или квадратрису, вынужден был точно воспроизводить себе их определения или построения, а также определения входящих в них терминов, он чрезвычайно медленно приходил бы к новым открытиям. Если бы арифметик в процессе вычисления всех знаков или цифр, которые он пишет, постоянно мыслил бы их вапёры (valores) ^l и множество единиц, он никогда бы не завершил длинных подсчетов, точно так же как если бы он пожелал считать с помощью такого же количества камешков. И любой юрист, когда он упоминает об акциях (actiones), или исключениях, или правовых привилегиях, не может всякий раз пробегать мыслью все существенные, нередко весьма обширные сведения, касающиеся этих вещей, да в этом и нет нужды. Поэтому делают так, что юридическим актам (contractus), фигурам и различным видам вещей ставятся в соответствие имена, а числам в арифметике и величинам в алгебре — знаки, чтобы если однажды опытным путем или размышлением устанавливалось бы нечто относительно вещей, то соответствующие знаки в дальнейшем всегда надежно связывались бы со знаками этих вещей. К числу же знаков я отношу слова, буквы, химические фигуры (figurae chemicae), знаки астрономические, знаки китайского письма, иероглифические, музыкальные ноты, стенографические, арифметические, алгебраические и все другие, которыми мы пользуемся в процессе рассуждения вместо вещей. Написанные же, начертанные или же высеченные знаки называются характерами (characteres). Далее, знаки будут тем полезнее, чем более адекватно они выражают понятие обозначаемого предмета, так что они могут служить не только

 

==501

целям репрезентации, но и целям рассуждения. Ничего подобного не обнаруживают характеры, употребляемые химиками и астрономами, если не считать того, что некоторые из них вместе с Иоанном Деем Лондонским, автором «Иероглифической монады» ², надеются разглядеть в них неизвестно какие тайны. И я не думаю, что фигуры китайцев или египтян могут много дать открытию истин. Язык Адама и, конечно, внутренний смысл его, который некоторые силятся постичь, надеясь в именах, данных Адамом, узреть сущности вещей, нам совершенно неизвестен. Обыденный язык, хотя он и мог бы весьма способствовать рассуждению, полон, однако, бесчисленных синонимов (aeqnivocationes) и поэтому не может служить делу исчисления, даже если бы были вскрыты ошибки , рассуждения, относящиеся к самой формации и конструкции слов, такие, как солецизмы и варваризмы. Таким поистине замечательным достоинством до сих пор обладают только знаки арифметиков и алгебраистов, у которых всякое рассуждение состоит в использовании характеров и ошибка ума есть то же самое, что ошибка счета, Мне же, беспокойному, уже давно со всей очевидностью представилось и нечто более важное, а именно что все человеческие мысли вполне разрешаются на немногие, как бы первичные; что если бы этим последним были поставлены в соответствие характеры, то из них могли бы образовываться характеры производных понятий, из которых всегда могли бы извлекаться все их реквизиты и входящие в них первичные понятия и то, что я называю определениями или значениями (valores), а равным образом и следствия (atfectiones), доказуемые из этих определений. Если бы все это было осуществлено, то каждый, кто пользовался бы в процессе рассуждения и писания такого рода характерами, либо никогда не ошибался бы„ либо сам не хуже других с помощью несложных выкладок обнаруживал бы свои ошибки; к тому же он приходил бы к открытию истины, поскольку она следует из данных, а если данных для нахождения искомого оказалось бы недостаточно, по крайней мере видел бы, какие еще нужны опыты или знания, чтобы он мог наконец прийти к истине, насколько это осуществимо на основе данных, или способом приближения, или же способом определения степени большей вероятности; софизмы же и паралогизмы ничем бы тогда не отличались от ошибок счета в арифметике и солецизмов и варваризмов в языке.

 

==502

Поскольку же на этом характеристическом искусстве, идею которого я постиг своим умом, основывается Истинный Органон Всеобщей Науки, касающийся всего, что подвластно человеческому рассуждению, но имеющий вид вечно очевидных доказательств исчисления, постольку есть необходимость, чтобы сама наша характеристика, или искусство пользования знаками для некоторого рода точного исчисления, представлялась как наиболее общая. Но так как еще нельзя установить, каким именно способом должны формироваться знаки, то пока вместо тех знаков, которые должны быть созданы в будущем, по примеру математиков будем пользоваться буквами алфавита и любыми другими произвольными знаками (notae), которые в изобилии будет поставлять прогресс [науки]. Этим способом прояснится также связь характеристически трактуемых наук, и само дело покажет, что элементарная арифметика более первична и проста, чем элементы логического исчисления, трактующего фигуры и модусы ³.

Пусть характером будет какое-либо А или В или некоторый другой знак.

Композиция из многих характеров называется формулой.

Если некоторая формула эквивалентна характеру, так что их можно подставлять на место друг друга такая формула называется валёром характера.

Первичный валёр характера, т. е. такой, который ставится в соответствие характеру по произволу и не нуждается в обосновании, есть его значение (significatio).

Характеры, каждый из которых может быть подставлен на место другого с сохранением законов исчисления, находятся в отношении эквиполентности.

Кроме эквиполентности имеются многие другие отношения, которые выявятся по ходу дела, такие, например, как включения, подобия, детерминации, о которых будет сказано в своем месте. И точно так же существуют отношения для характеров и формул, как существуют высказывания для понятий, или вторичные операции ума для первичных.

Исчисление или оперирование, состоит в соответствующем порождении отношений путем трансмутации формул согласно некоторым заранее заданным законам. И чем больше законов и условий предпосылает тот, кто намеревается исчислять, тем более сложно исчисление при той же компактности и простоте характеристики. Отсюда яв-

 

==503

ствует, что формулы (под которыми, если считать их простейшими формулами, можно понимать сами характеры). отношения и операции ведут себя как понятия, высказывания и силлогизмы. Имеются и составные отношение (relationes compositae), которые предполагают определенные операции.

О характере говорят, что он входит в формулу, если он полагается в ней явно; говорят также, что он входи г в другой характер, если он полагается явно в значении последнего. А что характер входит неявно (involvi), говорят, когда он может реализоваться только с помощью подстановки эквиполентных и тогда только входит в формулу.

Характеры входят в формулу или абсолютно, т о. просто (simpliciter), или же под определенной модификацией, т. е. своим отношением к другому характеру. Например, если формулой будет А. (В). С, то А и С входят в нее прямо, тогда как В — косвенно, под А. Может даже случиться, что все характеры входят в формулу под модификацией, как если бы мы имели А. В. С. L. M. N, где А. В. С, определенным образом связанные друг с другом, лишь вместе составляют прямой характер, слитый или составленный из них, и то же самое происходи с L. M. N. Так что если абсолютно полагаемый характер выражается иначе, чем через модифицированные (modificati), то он называется прямым (rectus), модифицированный же называется косвенным (obliquus). Одни характеры входят в формулу так, что не могут быть отделены друг от друга; другие — иным образом. Содержание, или агрегат, есть однообразная композиция (compositum uniforme), т. е. формула, которая не делится ни на какпо другие формулы, если не считать деления по произволу. Сюда относятся такие композиции, как А. В или А. В. С. Любая композиция бывает или равнообразной (aequiformis), или разнообразной (disquiformis). Она равнообразна, как в случае А. В, или А. В. C.D, или А .В. C.D. E.F, когда те ингредиенты, которые связываются одной и той же связью, всегда вступают в связь одинаковым образом. При этом опять-таки важно, связываются ли А и В своей связью таким же способом, каким С и D связываются

своей, и тем ли способом связываются А и В, каким А. В и С. D. Если же два ингредиента вступают в одну связь разнообразно, как в случае А - В, и один из них

 

==504

вступает однообразно в новую связь с ближайшим С, входящим в формулу, как в случае А - ВС, тогда А будет прямым (directum), В — косвенным. Прямой крайний — это тот ингредиент, который замыкает формулу, так что если формулой является L |— ~А~\~~ВСМ, то L и М будут прямыми крайними, тогда как А и В — средними. Бывают ингредиенты, связанные между собой однообразно, однако такого рода отношением, что один из них (произвольно выбранный) может быть взят за абсолютный, а остальные — за модифицированные. Такое происходит при умножении. Так, если имеем аЬ и подразумевается, что а означает 2, а и означает 3, то можно считать, что ab есть 2Ь, и поэтому b абсолютно, тогда как а есть число, на которое умножается b. С другой стороны, возможно и обратное: и о может быть взято за абсолютное, модификацией которого было бы 3, так что а понималось бы как утроенное.

Иногда и часть формулы сама является формулой и может выступать самостоятельно, иногда же нет.

 

==505

VI

00.php - glava39

ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Правило построения характеров следующее: всякому термину (т. е. субъекту или предикату предложения) приписывается какое-нибудь число при соблюдении одного условия — чтобы термину, составленному из каких-либо других терминов, соответствовало число, образованное из чисел этих терминов, умноженных друг на друга. Например, если представить, что термин «животное» выражается через число 2 (или, в более общем виде, а), термин «разумное» — через число 3 (или, в более общем виде, г), то термин «человек» будет выражен через число 2.3, т. е. 6, образованное из умноженных друг на друга 2 и 3 (либо, в более общем виде, числом аг).

Правила применения характеров в категорических предложениях следующие.

Если общеутвердительное предложение истинно, то необходимо, чтобы число субъекта могло делиться точно, т. е. без остатка, на число предиката.

U.A. р [делению] удовлетворяет, т. е. число S может

точно делиться на число Р. Или если р выразить через

дробь (числитель которой, например 6, был бы S — числом субъекта, например «человека», знаменатель же Р — числом предиката, например «животного»), то эта дробь должна равняться целому, как 1 есть 2.

Если частноутвердительное предложение истинно, достаточно, чтобы или число предиката могло делиться точно на число субъекта, или число субъекта — на число предиката.

Р.А. Или р, или -у [делению] удовлетворяет.

Если общеотрицательное предложение истинно, необходимо, чтобы ни число субъекта не могло делиться точно

 

==506

на число предиката, ни число предиката — на число субъекта.

U.N. Ни -п, ни -с,- [делению] не удовлетворяют.

Если частноотрицателъное предложение истинно, необходимо, чтобы число субъекта не могло делиться точно за число предиката.

P.N. р [делению] не удовлетворяет.

Эти четыре правила, или определения, истинных категорических предложений (а также и ложных, ибо те предложения, которые не являются истинными, ложны), различающихся по количеству (или знакам) и качеству (т. е. утверждению или отрицанию), достаточны для того, чтобы сразу понять всю обычную логику, поскольку она трактует о форме предложений и категорических силлогизмов, так что в результате можно сразу же понять подчинения, противопоставления, обращения предложений и фигуры и правильные модусы силлогизмов. Ибо предложения будут сразу же рассматриваться в числах — как те, из которых делается заключение, так и те, которые выводятся из других.

Более того, я покажу нечто значительное: как посредством исчисления моментально могут быть доказаны все формы категорической логики, даже если предположить, что еще не даны нужные числа отдельных терминов и понятий. Ведь подобно тому как в буквенной алгебре мы производим вычисления с числами вообще, выраженными буквами, которые обозначают любые специальные числа, известные или неизвестные, так и здесь, применяя буквенные обозначения вместо этих чисел, мы докажем замечательные теоремы науки логики. Таким образом, преимущества этого нашего замечательного открытия столь велики, что одно только намерение и желание (применить его) даст новый свет разуму и невиданно обогатит науку ¹.

Имеет смысл в нескольких словах привести пример столь великого открытия. Итак, если нам дано какое-то категорическое предложение, мы выразим числа субъекта и предиката какой-нибудь буквой, например если дано ¹ предложение «Человек есть животное», мы можем выразить число субъекта буквой Н, а предиката — буквой А ^а. Выразим отношение этих двух чисел Я, А в простых числах, например если число Я будет 6 и А будет 2,

 

==507

отношение Н к А в простых числах будет 3 к 1, соответственно отношение Л к Я в простых числах будет 1 к 3. Или если число Я будет 15 и число А будет 6, отношение Я к А в простых числах будет 5 к 2, а отношение А к Я в простых числах — 2 к 5. Вообще предположим, что эти простые числа суть v, r, так что Я будет относиться к 1

Я

Л

как гки³. Отсюда будет -. равн. — и „равн.—, или? 1

Л V 1л Т

равн. vH. Попутно следует заметить, что простые числа, выражающие отношение чисел субъекта и предиката, суть числа тех терминов, которые остаются в субъекте и предикате после отнятия общих тому и другому терминов. Из этого следует, что, если деление числа Я (субъекта) на число А (предиката) осуществляется точно, т. е.а

тт j

если дробь , сведенная к простым числам, т. е.¹- (напр.,1

-т-), есть целое число, необходимо, чтобы ее знаменатель о|

был 1, т. е. единицей. Наоборот, если деление не осуществляется точно, т. е. если дробь, выраженная в простых числах —(напр.,-,,-), не есть целое число, необходимо, чтобы знаменатель v (здесь 2) был не единицей, а числом, i большим единицы. То же самое и в делении предиката на субъект, нужно только обратить дробь, потому что, если число А (предиката) может делиться точно на число Я

(субъекта), тогда дробь, выраженная в простых терминах, т. е. —, будет иметь знаменатель r, равный единице; если же деление А на Я не осуществляется точно, дробь —

будет иметь знаменатель r, больший, чем единица. То же самое происходит, если числа, соответствующие терминам предложения, суть Н, В v. числа, выражающие простейшим образом их отношение, суть r, у.

Таким образом, поскольку истинность, качество и количество любых категорических предложений могут быть постигнуты с помощью одних только точных или неточных делений чисел, выражающих термины, из ранее установленных правил следует, что это сведение отношения двух чисел, выражающих термины предложения, к минимальным терминам, всегда достаточно для установления равенств, соответствующих предложениям. Ибо в зависимости от того, может или не может осущест-

 

==508

виться деление каким-то определенным образом, данное количественное пли качественное предложение является истинным или ложным, и, наоборот, если данное количественное или качественное предложение истинно или ложно, указанное деление может соответственно быть осуществлено или не осуществлено.

В результате возникает следующая таблица предложений и соответствующих равенств.

единственным требованием в равенстве, относящемся к Р. А.). И из общеотрицательного следует частноотрицательное, потому что, если и то и другое число, т. е. множители какого-нибудь термина, больше единицы (как требуется в равенстве, относящемся к U. N.), во всяком случае число, т. е. множитель одного из терминов, а именно субъекта, будет больше единицы (что единственно и требуется в равенстве, относящемся к Р. N.).

И вот что становится совершенно ясным: U. N. и Р. N. могут обращаться просто, ибо при их условиях требуется только, чтобы тот или другой множитель, т. е. коэффициент, был единицей или чтобы оба были больше единицы, а поэтому ни один термин предложения преимущественно не выделяется, и, таким образом, не имеет значения, какой из них является субъектом или предикатом, лишь бы сохранялось качество и количество.

Но чтобы показать на буквах то, что выражено словами, таблицу следует построить несколько иначе, а именно так, чтобы по самим буквам можно было судить, являются ли они больше единицы или равны ей, насколько, разумеется, об атом можно судить по форме. С этой целью мы отбросим числа, которые очевидно равны единице, потому что единица не умножает, числа, которые *...

Но чтобы продемонстрировать с помощью буквенного исчисления то, что мы показали с помощью слов, таблицу следует построить несколько иначе и сами буквы должны различаться так, чтобы из них самих было ясно, являются ли они необходимо большими, чем единица, или необходимо равны ей, или по крайней мере то больше, то равны ей.

С этой целью будут применены следующие наблюдения или каноны.

I. Заглавная буква обозначает какое-нибудь число, соответствующее термину (т. е. субъекту или предикату какого-нибудь предложения, которому оно приписано или должно быть приписано).

II. Строчная буква обозначает какое-нибудь число, множитель числа заглавной буквы, которое для полноты равенства должно возникнуть из предложения, и это число мы можем назвать коэффициентом. Поскольку в предложении иногда один термин содержит другой, то и число одного [термина] содержит число другого, как делимое — делитель, и поэтому, чтобы стать равным делимому, делитель должен быть умножен на частное. А если деление

 

К оглавлению

==510

не удается, т. е. если ни один не содержит другой, т. е. если термины раздельные, тогда каждое из чисел должно быть умножено на какое-нибудь другое, каждое на свое, для того чтобы стать равными. Множители же должны быть таковы, чтобы простейшим образом выражать взаимное отношение умноженных чисел; а умножение должно осуществляться перекрестно. А что простые числа должны применяться, как и в том случае, когда имеется отношение единицы к целому числу, то это вполне ясно и попятно из сказанного выше.

III. Латинская строчная буква обозначает такое число, что формально безразлично, равно ли оно единице или числу, большему, чем единица. Например, в общеутвердительном предложении безразлично, уже ли предикат субъекта или равен ему, лишь бы он в нем содержался, т. е. лишь бы он не был больше субъекта. Поэтому числом, на которое должно быть умножено число предиката, чтобы получилось число субъекта, будет либо единица, когда субъект и предикат взаимообратимы или равны по объему, либо число, большее единицы, когда предикат уже субъекта. Для общей же формы общеутвердительного предложения безразлично, какое из этих двух чисел следует употребить. Поэтому вместо предложения «Всякое Н есть Л» мы можем употребить следующее равенство: Н равн. гА; поясню на примере: понятие «человек» совпадает одновременно с понятием «разумный» и с понятием «животное», т. е. число «человека» получается из умножения числа «животного» на число «разумного». И в этом случае г есть число, большее, чем единица, но в других случаях оно может быть равно ей. Например» «Всякое Т есть в», т. е. Т равн. uQ. Всякий треугольник имеет три стороны; так как понятие треугольника равнообъемно понятию трехсторонней фигуры, т. е. они коэкстенсивны, то, следовательно, и числа, их выражающие, будут равны. Поэтому v, на которое должно быть умножено ©, чтобы равняться Т, которому оно уже равно, есть единица. Следовательно, в силу общей формы, которой обладает общеутвердительное предложение, безразлично, является ли число г или v, множитель предиката, единицей, или оно больше единицы. То же самое относится и к предикату частноотрицательного предложения, которое есть не что иное, как противоречащее общеутвердительному, как ясно из вышесказанного. Все это мы привели здесь не для доказательства, а для иллюстрации.

 

==511

 

1

А

IV. Греческая строчная буква (не употребляемая в качестве экспонента, о чем позднее) обозначает число, которое определенно больше единицы. Такое число встречается в отрицательных предложениях, как видно из приведенной выше таблицы и будет еще виднее из дальнейшего.

V. Строчная латинская буква, отмеченная каким-нибудь экспонентом, выраженным греческой буквой, как г, образует число, о котором в силу формы известно' что оно чередуется с каким-то другим числом, также выраженным латинской строчной буквой с греческим экспонентом, так что одно из них необходимо является единицей, а другое — безразлично, равно ли единице или больше единицы.

А так как может случиться, что одновременно будет употреблено более двух букв, отмеченных такого рода экспонентами, то, чтобы было ясно, какие именно из них должны относиться друг к другу и составлять одну пару, мы будем поступать следующим образом: их экспонентами будут две греческие буквы, ближайшие друг к друзу в алфавитном порядке, как здесь К и }*. Это будет означать, что эти два числа v, г, так соотносятся между собой, что одно из них необходимо будет единицей, а другое при етом безразлично какое. Допустим, что мы имеем четыре такого рода числа: iA, r, pP, gv. Ясно, что они должны подразделяться на пары так, чтобы какое-нибудь из v, г и какое-нибудь из р, q необходимо было единицей. Но если пары образованы неправильно, как и, р, нет никакой необходимости, чтобы одно из двух было единицей, ибо может случиться, что и г, и q⁷ являются единицами и потому из остальных ни одно не является единицей. Таким образом, для того чтобы можно было выделить пары, нужно прибегнуть к упомянутым мною наблюдениям. Но не следует забывать, что применение ограничивается лишь частноутвердительным предложением, потому что в этом случае необходимо, чтобы одно из чисел-коэффициентов было единицей, как об этом уже говорилось в вышеприведенной таблице. Я не без умысла применил именно экспоненты, а не какой-нибудь иной способ выражения, потому что таким образом я оставляю свободными такие буквы, как и, г, что весьма удобно; здесь я иногда прибегаю для простоты к начальным буквам терминов в примерах, разъясняющих суть дела, как выше: Н равн. г4д т. е. человек (homo) — это то же, что

 

==512

разумное (rationale) животное (animal). Но я не хотел умножать буквы v, r на другие буквы для выражения нашего чередования, ибо каким же образом в том случае эти другие отличались бы от остальных и как бы обозначили бы соответствующим образом равные, иначе как составив характеры или применив числа? Первое занимает много времени для написания, второе при написании нарушило бы точность равенства, ибо вы когда-нибудь должны были бы эксплицировать эти числа через единицу и сказать, например, что 3 равн. 1, что несообразно, хотя 3 мы берем здесь в качестве числа, а не характера. Для них одних нельзя было выделить определенные греческие или латинские буквы, потому что мы уже достаточно заняли их и их осталось довольно мало, тем более что, как я сказал, мы хотели бы, когда это удобно, применять начальные буквы терминов, а потому эти буквы не должны быть занятыми. Но я говорю об этом между прочим, чтобы тем, кто глубже заинтересуется этим, были ясны наши соображения.

 

==513

00.php - glava40