Горячева Татьяна Геннадьевна учитель математики 2005 г содержание программы: 1 пояснительная записка

Вид материала

Пояснительная записка

Содержание Урок № 18«статистическое понятие Ход урока Урок № 19«геометрическое понятие Ход урока Sсект. ВОС Урок № 20«формула бернулли». А, может произойти столько, сколько перестановок с повторениями можно построить из m букв А и n-m букв А Ход урока Урок №22 зачёт.

Подобный материал:

• Никитина Наталья Ивановна г. Всеволожск. 2010 г. Содержание программы. № п/п. Содержание, 275.33kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 346.34kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 428.62kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана г. Кстово, 328.22kb.
• Киселева Мария Геннадьевна учитель информатики моу сош №2 им. И. А. Сухана kis-marya@rambler, 346.32kb.
• Пояснительная записка 4 Содержание программы 7 Требования к уровню подготовки выпускников, 97.02kb.
• Сайфуллин Халил Хамзаевич учитель биологии, гимназии №9 г. Караганды Караганда 2011, 181.68kb.
• Рябцева Татьяна Ивановна учитель физики 2011 пояснительная записка, 172.45kb.
• Колупаева Галина Геннадьевна с. Чоя 2005 год пояснительная записка, 256.5kb.
• Субботина Татьяна Борисовна, учитель русского языка и литературы, учитель 1ой категории, 736.23kb.

3!*33! = 11/12

С³₃₆ 3!*32! 36!

Задача № 4.Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) оканчивается нулём;[0,1]

б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]

в) больше 27 и меньше 46;[0,2]

Задача №5.Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что составленное число:

а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]

Задача № 6. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]

б) вторая карта – пиковый туз;[1/4]

в) первая карта – туз красной масти;[1/2]

г) среди выбранных карт есть бубновый туз;[1/2]

Домашнее задание:

1. формула
   
2. задача: из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]
   

б) среди выбранных карт есть пиковый туз[1/2];

в) среди выбранных карт есть туз красной масти[5/2]


УРОК № 18«СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ».

Цель – Сформировать понятия статистической вероятности событий, понятие статистической частоты, применение к решению задач.

ХОД УРОКА:

1. проверка д/з
   
2. новый материал
   
3. решение задач
   

При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. КАК известно, вероятность выпадения шестёрки при бросании правильной игральной кости 1/6.

Допустим, провели n бросаний такой игральной кости и определили, что шестёрка выпала m раз. Отношение m/n назовём статистической частотой появления шестёрки. При проведении серии таких испытаний может случиться, что

статистическая частота р₁=m₁/n; ещё раз р₂=m₂/(n+1) …. при бросании N раз р_n=m_n/N. Для статистических частот р₁, р₂,… р_n будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко около р=1/6.

определение: Вероятностью события А называется то неизвестное число р, около которого сосредотачивается значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.[это – статистическое определение вероятности случайного события].

Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадания» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу: Р(попадание)=1/2.

Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша при стрельбе каждый раз попадает в мишень 80-90 раз, а Сережа бывает редко, только 30-40 раз.

Ясно, что у Алеши возможность попадания > чем у Сережи.

число выстрелов	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
число попаданий Алеши	8	17	26	33	41	49	56	65	72	81
число попаданий Сережи	3	5	8	12	15	19	22	25	28	31

Но заметно, что упомянутое отношение колеблется около определённого числа:

у Алеши 4/5, у Сережи 3/10.

Пусть L – число испытаний, при проведении которых могло произойти или не произойти событие А, а k – число испытаний, при проведении которых событие А произошло. Отношением k/L называем статистической частотой события А и обозначают Р{A}=k/L Р_l{A}=P(A).

Задача № 1.Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются. Сколько бракованных окажется среди 2400 деталей?

Решение: А – наугад выбранные, тогда Р(А)=0,004. Если среди 2400 деталей х бракованных, то Р(А)= х/2400. Так как Р{A}=Р(А), то х/2400=0,004, то х=10.

Задача № 2. В ящике 90 стандартных деталей и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей бракованных не окажется?[0,33]

Задача № 3.Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все

цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]

Задача № 4. Четырем игрокам раздали поровну колода из 32 карт. Определите вероятность того, что каждый игрок получит карты одной масти?[1/С⁸₃₂]

Задача № 5.В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика. Во втором – 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?[0,42]

Домашнее задание:

1. определения, формула
   
2. задача:4 зенитных пулемета, ведут огонь по 3 самолетам. Каждый пулемет выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность того, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и тому же самолету?[1/27]
   

УРОК № 19«ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ

ВЕРОЯТНОСТИ».

Цель - Сформировать понятия геометрической вероятности, научить отличать

классическое, статистическое и геометрическое понятия вероятности,

применение к решению задач.

ХОД УРОКА:

1. проверка д/з

2. новый материал

3.решение задач

Формирование геометрического понятия вероятности можно начать с такого примера.

Пусть на плоскости задан круг и в нём треугольник В. В круг наудачу «бросается точка». Как определить вероятность события А, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

Предлагаем при подходе к решению этой задачи руководствоваться следующим исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорциональна площади этой части.

Интуитивное соображение логичности такого подхода не вызывает никаких осложнений.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности

Р(А)= m*k единиц площади =m

n*k единиц площади n

На этот раз следует добавить, что m/n в данной ситуации не обязано быть рациональным числом, хотя формально результат записывается так же, как формула классической вероятности. Смысл он имеет несколько иной.

Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и подпространство, представляют событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.

С этой целью можно рассмотреть такой пример.

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС. <ВОС=а. Рассмотрим вероятности трёх событий А₁, А₂ и А₃, состоящих в следующем.

В круг наудачу бросается точка М. А₁ – «попадание М в сектор ВОС». На дугу окружности наугад бросается точка N. А₂ – «попадание N на дугу ВДС». Наудачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О. А₃ – «попадание OS в угол а». Пусть ОС=r – радиус круга. Тогда

Р(А₁)= S_{сект. ВОС} = 0,5r²а = а_

S _круга п*r² 2п

Р(А₂)= С _{дуги ВОС} = r*а = а_

С_окриж 2пr 2п

Р(А₃)= а_

2п

Тот факт, что Р(А₁)=Р(А₂)=Р(А₃), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу, ели событие А состоит в попадании точки М на отрезок [а; в] при её бросании наугад на отрезок [с; д], то Р(А)= в -а

д - с,

Если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании её наугад в пространство S, то

Р(А)=V_T/V_S

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчёту вероятностей сложных событий.

определение: Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

Задача № 1.В ящике имеются 4 белых и 7 чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение: В этом случае m=4, n=11. Поэтому Р(Ш)=4/11

Задача № 2.Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы, по 9 команд в каждой, 5 команд обычно занимают первые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трёх – в другую?

Решение: А – 5 лидирующих попали в одну ,

В – 2 лидирующих в одну, 3 – в другую.

Из 18 команд группы по 9 команд С₁₈⁹=n. Событию А – 5 лидирующих команд могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому С⁴₁₃ следовательно m=2С₁₃⁴.

Р(А)=m/n=(2С⁴₁₃)/С₁₈⁹=1/34.

Задача № 3.Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если их друзей принято места распределять путём жребия?

Решение: 10 человек могут усесться за стол 10! способами. Сколько же из этих n=10! рановозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8! разными способами, поэтому m=20*8!

Р(Т и В)= 20*8! = 2

10! 9

Задача № 4. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]

Домашнее задание: определение, формула,

задача: Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделён на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае, если все диски занимают определённое положение относительно корпуса замка, их цифры образуют определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?[0,00077]


УРОК № 20«ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ».

Цель – Сформировать понятие и вывод формулы Бернулли, применение к решению задач, развитие логического мышления.

ХОД УРОКА:

1.проверка д/з

2.новый материал

3. решение задач

Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при четвёртом бросании не зависит от того, каковы были результаты при первом, при втором и при третьем бросании. Мы имеем дело с независимыми испытаниями. Решим теперь такую задачу.

При проведении некоторого однократного испытания вероятность появления события А равна р, а не появления q=1-р.

Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдёт m раз? Это событие запишем так: «S_n=m».

Станем искать Р(S_n=m).

Событие, состоящее в том, что при n независимых испытаниях А происходило m раз, а не происходило n-m раз, можем себе представить в виде n клеток, m из которых заполнены буквой А, n-m-буквой А. Например, одно из таких представлений, которое назовём событием В_1.

Когда m клеток заполнено буквой А, а n-m клеток –буквой А, может произойти столько, сколько перестановок с повторениями можно построить из m букв А и n-m букв А. Если число таких событий обозначим N, то по формулам получим:

N= n!___ =C_n^m

m!(n-m)!

Нас интересующее событие «S_n=m» представляет собой объединение N событий В₁, В₂, В₃, ….,В_n. Они равновозможны и попарно несовместимы, поэтому

P(S_n=m)=P(B₁)+P(B₂)+….+P(B_n)=NP(B₁). но

В₁ равно пересечение А взятых m раз и А взятых n-m раз.


Появление событий А с вероятностью р, и не появление А с вероятностью q.

Обозначим вероятность того, что А появилось k раз P_n(k), тогда та вероятность будет равна сумме вероятностей элементарных исходов благоприятствующих появлению событий В или входящих в событие В, а число таких элементарных исходов равно числу перестановок с повторениями

P_n(k, n-k)= n!_ =C_n^k

k!(n-k)!

таким образом P_n(k)=C_n^k p^k q^{n – k} формула Бернулли.

Задача № 1. Вероятность изготовления стандартных деталей 0,95 определённой вероятность того, что из 5 на удачу взятых деталей 3 окажутся стандартными?

Решение: n=5 k=3 Р₅(3)=С₅³ р³ q^5-3= 5!_ (0,95)³*(0,05)²=0,0214

3!*2!

Задача № 2.4 стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени вероятных попаданий 1 стрелок 0,8, для 2 – 0,7, для 3 – 0,6, для 4 – 0,5. Найти вероятности не более 2 попаданий?

Решение: В – не более 2 попаданий, А₀ – ни одного, А₁ – одно попадание, А₂ – 2 попадания. В=А₀+А₁+А₂ (А₀, А₁, А₂ – попарно несовместимы)

Р(В)=Р(А₀)+Р(А₁)+Р(А₂) n=4 Р(А₀)=Р₄(0), Р(А₁)=Р₄(1), Р(А₂)=Р₄(2)

р₁=0,8 q₁=0,2 р₂=0,7 q₂=0,3 р₃=0,6 q₃=0,4 р₄=0,5 q₄=0,5

V(х)=(0,2+0,8х)(0,3+0,7х)(0,4+0,6х)(0,5+0,5х)=0,012+0,106х+0,32х²+0,394х³+0,168х⁴

Р₄=(0)=0,012 Р₄(1)=0,106 Р₄(2)=0,32 Р(В)=0,012+0,106+0,32=0,438

Задача № 3. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

Решение: n=10 k=2 p=1/2 q=1/2

P(2)=C₁₀² (1/2)²*(1/2)⁸=45/1024=0,04395

Задача № 4. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой 4 торпеды. Вероятность попадания каждой торпеды ¾. Любая из торпед с одинаковой вероятностью может пробить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков тонет. Вычислите вероятность гибели крейсера.

Решение: А1 – попадание одной торпедой, А2 – попадание 2 торпедами, А3 – попадание 3 торпедами, А4 – попадание 4 торпедами, А – крейсер потоплен.

Р(А1)=С₄¹(3/4)(1/4)³=3/64 Р(А2)=С²₄(3/4)²(1/4)²=27/128 Р(А3)=С³₄(3/4)³(1/4)=27/64

Р(А4)=С⁴₄(3/4)⁴(1/4)⁰=81/256 Р(А/А1)=0, Р(А/А2)=1-1/10=9/10,

Р(А/А3)=1-1/100=99/100, Р(А/А4)=1-1/1000=999/1000.

по формуле полной вероятности Р(А)=3/64*0+27/128*9/10+27/64*99/100+81/256*999/1000=0,9237.

Домашнее задание: формулы, задача

С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвёртым – 0,4. Какова вероятность того, что все 4 выстрела – промахи?[0,3024]


УРОК № 21' РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ'. (тест)

Цель – Закрепление изученного материала по теме теория вероятности, развитие логического мышления, применение к решению задач, подготовка к проверочной работе, проверка знаний и умений по теме случайные величины и их вероятности, развитие логического мышления.

ХОД УРОКА:

проверка д/з

решение задач

Задача № 1. Юноша, желающий стать военным лётчиком, должен пройти 4 испытания. Вероятность успешного выполнения им заданий первого испытания 0,9, второго – 0,95, третьего –0,8 и четвёртого – 0,85. Какова вероятность того, что:

а) с успехом пройдет все испытания;[0,5814]

б) успешно только 2 испытания;[0,06965]

в) с успехом не меньше 2 испытаний? [0,9942]

Задача № 2.Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное.

а) дата рождения моего друга-число, меньше, чем 32.[д]

б) на уроке математики ученики делали физические упражнения.[н]

в) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2006г.[с]

Задача № 3.На биллиардом столе - шары от №1 до №15 и ещё шар «крест». Бить можно любым шаром по любому. Найдите вероятность того, что при случайном выборе: а) ударят шаром №7 по какому другому шару;[1/16]

б) ударят «крестом» по шару №7.[1/240]

Задача №4.Известно, что 96% выпускаемых, заводом изделий отвечает стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодный стандарт с вероятностью 0,98 и нестандартной вероятностью 0,05. Определите вероятность, что прошедшей контроль и отвечает стандарту. А- изделия прошедший контроль, Н1- стандартный,

Н2-нестандартный. 96%-стандартный.

Р(А/Н1)=0,98 Р(А/Н2)=0,05 Р(Н1)=0,96 Р(Н2)=0,04

Р(А)=0,98*0,96+0,05*0,04=0,9428

Задача № 5. Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых даётся 4 варианта ответа, причём один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащиеся, не знающий ни одного вопроса не даёт: а) 3 правильных, б) не менее 3 правильных(на удачу).

р=0,25 n=5 q=0,75

а) k=3 Р₅(3)=С₅³(0,25)³(0,75)²=0,0878

б) k=0 Р₅(0)=С₅⁰(0,25)⁰(0,75)⁵=0,2373 Р=1-0,2373=0,77

Задача № 6. Испытание состоит в бросании 3 игральных костей. Найдите вероятность того, что в 5 независимых испытаниях ровно 2 выпадает по 3 единицы.

Решение: n=5 k=2 Р=(1/6)³=0,005 q=0,995

Р₅(2)=10*(0,005)²(0,995)³=0,00025

Домашнее задание подготовиться к проверочной работе по теме вероятность

ТЕСТ

1.1 Какое событие называется достоверным?

1.2 Какое событие называется случайным?

1. Сформулировать понятие классической вероятности?
   

2.2 Сформулировать понятие статистической вероятности?

3.1 Написать формулу Бернулли?

3.2 Написать формулу вычисления вероятных событий?

4.1 В пирамиде 5 винтовок, 3 из них с оптическим прицелом. Вероятность, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом 0,95, а без прицела 0,7. Найдите вероятность того, что мишень поражена, если стрелок произведёт выстрел наудачу выбранной винтовки.[0,85]

4.2 Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых даётся 4 варианта ответа, причём один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащиеся, не знающий ни одного вопроса даёт а) 3 правильных, б) не менее 3 правильных.[0,0878]

5.1 По данным технического контроля 2% изготовленных автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в регулировке.[0,000002305]

5.2 Вероятность, того, что покупателю потребуется обувь 41 размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера не понадобиться а) одному б) по крайней мере одному[0,4096;0,32768]


УРОК №22 ЗАЧЁТ.

Цель – Проверка знаний и умений по элективному курсу.

Зачет состоит из двух частей: 1 часть теоретическая(знание формул, определений),

2 часть (практическая применение к решению задач)

1.делиться ли число 30! на :а)90/да т.к.90=2*5*9, среди множителей 30! есть 2,5,9/; б)94?/нет т.к.94=2*47, 47-просто больше чем 30, и среди 30! множителей 47 нет/

2.найдите значение выражения: 16!

14!*3! /16!=14!*15*16 ответ40/

3.Сколько всего автомобильных номеров можно составить из четырёх цифр и трёх букв?/10*10*10*10*32*32*32=32768000/

4.На учениях по стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели у некоторого стрелка оказалась равной 0,8. Сколько попаданий в цель можно ожидать от этого стрелка на соревнованиях, если каждый участник проведёт по 20 выстрелов? /м-число попаданий, которое ожидается при 20 выстрелах. м/20=0,8 м=16, значит поразит цель 16 раз./

5.из 25 билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых билетов и 8 последних билетов. какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет который он подготовил? /всего 25,м- событие не готовых билетов, 25-11-8=6, Р(М)=6/25=0,24/

6.в урне 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров. Какова вероятность того, что вынутый шар: а)белый, б)красный, в)синий? /1/4,5/12,0/

7.Расположите в таблице числа 3,6,9,12,15,18,21,24,27 так, чтобы сумма чисел в каждом столбце была одна и та же.

3	15	27
18	21	6
24	9	12

Я считаю, что этот курс новый материал для учащихся нужен, так как необходимо учащимся связывать с прикладными задачами, сообщать факты из истории науки.


ЛИТЕРАТУРА:

1.В.С.Лютикас « Школьнику о теории вероятностей.»/учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов. Москва «Просвещение» 1983г.

2.Учебник Математика под редакцией Г.В. Дорофеева. Москва «Просвещение» 1994

3.Г.И. История математики в школе 9-10 классы. /пособие для учителей/ Москва «Просвещение» 1983 г.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. под редакцией Вавилова В.В. Издательство «Наука» 1987 г.

5.Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей.» /учебное пособие для учащихся 7-9 классов/ Москва «Просвещение» 2003г.

6. С.И. Гельфанд и др.»Задачи по элементарной математике. Последовательности. Комбинаторика. Пределы. Издательство «Наука» Москва 1965г.

7.Задачи по элементарной математике. Под редакции В.Б. Лидский и др. Издательство «Наука» Москва 1973г.

8.Н.Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. Москва «Просвещение» 1976г.

9. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы под редакцией М.И. Сканави. Москва «высшая школа»1978г.

10. статья в газете приложение к первому сентября «Математика» А. Мордкович, п. Семёнов « События, вероятности, статистическая обработка данных». №34, 35, 41, 43, 44, 48/2002г., 11, 17/2003г.

11. М.В.Ткачёва, Н, Е.Федорова «Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной школы». Журнал «Математика в школе» №3/2003г.

12. статья «Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей». Журнал «Математика в школе» №5/2003г.

13. Н.Я.Виленкин и др. «Алгебра и математический анализ» для 11кл. Москва «Просвещение» 1993г.